数学必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课后测评

函数的概念(二)

[A级　基础巩固]

1．区间(－3，2]用集合可表示为(　　)

A．{－2，－1，0，1，2}　　　 B．{x|－3＜x＜2}

C．{x|－3＜x≤2}  D．{x|－3≤x≤2}

解析：选C　由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3＜x≤2}，故选C.

2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)

A．y＝x－2和y＝

B．y＝x－1和y＝

C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2

D．f(x)＝和g(x)＝

解析：选D　A中的函数定义域不同；B中函数的对应关系不同；C中两函数的对应关系不同，故选D.

3．(2021·浙江省温州市十校联考)已知函数f(x)＝，则f(x)的值域是(　　)

A.  B.

C.  D．(0，＋∞)

解析：选C　∵x2＋2≥2，∴0<≤，∴f(x)的值域为.故选C.

4．若函数f(x)与函数g(x)＝是同一个函数，则函数f(x)的定义域是(　　)

A．(－∞，0)  B．(－∞，0)∪(0，1]

C．(－∞，0)∪(0，1)  D．[1，＋∞)

解析：选B　要使g(x)即f(x)有意义，则解得x≤1且x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，1]．故选B.

5．已知等腰△ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为(　　)

A．R  B．{x|x>0}

C．{x|0<x<5}  D.

解析：选D　∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，∴x<5.又两边之和大于第三边，∴2x>10－2x，∴x>，∴此函数的定义域为.

6．函数y＝2－的值域是________．

解析：∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，且－x2＋4x≥0，∴0≤－x2＋4x≤4，∴0≤≤2，∴－2≤－≤0，∴0≤2－≤2，故函数y＝2－的值域是[0，2]．

答案：[0，2]

7．函数f(x)＝(x∈[3，6])，f(4)＝________，值域为________．

解析：f(4)＝＝2，由3≤x≤6得1≤x－2≤4，所以1≤≤4，所以函数的值域为[1，4]．

答案：2　[1，4]

8．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．

解析：由题意，得即－1≤x≤1.

故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1]．

答案：[－1，1]

9．求函数y＝的定义域，并用区间表示．

解：要使函数解析式有意义，需满足：

即

所以－2≤x≤3且x≠.

所以函数的定义域是.

用区间表示为∪.

10．试求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；

(2)y＝(x－1)2＋1；

(3)y＝；

(4)y＝x－.

解：(1)函数的定义域为{－1，0，1，2，3}，当x＝－1时，y＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1，2，5}．

(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．

(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．

(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝(t≥0)，则x＝t2－1，于是f(t)＝t2－1－t＝－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是.

[B级　综合运用]

11．(多选)若函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，则实数a的可能取值是(　　)

A．－1  B．1

C．3  D．5

解析：选AB　函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，等价于＋1≥0在区间[－2，－1]上恒成立，由x<0，得a≤－x在区间[－2，－1]上恒成立，∴a≤1，故选A、B.

12．已知a，b为实数，集合A＝{a＋6，－2}，B＝{b2－2b－1，3}，函数f：A→B的解析式为f(x)＝x，则a－b＝(　　)

A．4  B．－1

C．－2  D．－4

解析：选D　∵A＝{a＋6，－2}，B＝{b2－2b－1，3}，函数f：A→B的解析式为f(x)＝x，

∴解得∴a－b＝－4，故选D.

13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，且f(1)＝2，则f(－3)等于________．

解析：法一：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，

令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＋0，解得f(0)＝0；

令x＝1，y＝－1，得f(0)＝f(1)＋f(－1)－2，

解得f(－1)＝0；

令x＝y＝－1，得f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2，解得f(－2)＝2；

令x＝－2，y＝－1，得f(－3)＝f(－2)＋f(－1)＋4，解得f(－3)＝6.

法二：因为f(1)＝2，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝6，

所以f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＋2×1×2＝12.

令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＋0，即f(0)＝0，所以f(0)＝f(3＋(－3))＝f(3)＋f(－3)＋2×3×(－3)＝0，所以f(－3)＝6.

答案：6

14．已知矩形的面积为10，试构建问题情境描述下列变量关系：

(1)y＝；

(2)y＝2x＋.

解：(1)设矩形长为x，宽为y，那么y＝.

其中x的取值范围A＝{x|x>0}，y的取值范围B＝{y|y>0}，对应关系f为每一个长方形的长x，对应到唯一确定的宽.

(2)设矩形长为x，周长为y，那么y＝2x＋.其中x的取值范围A＝{x|x>0}，y的取值范围B＝{y|y>0}，对应关系f为每一个长方形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋.

[C级　拓展探究]

15．(2021·湖北省黄冈市检测)规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))．

(1)分别求f1和f2；

(2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3.

解：(1)∵x＝时，4x＝，

∴f1＝＝1，g＝－＝.

∴f2＝f1＝f1＝[3]＝3.

(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，

∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.

∴解得≤x<.

故满足题意的x的取值范围为.