高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步训练题，共4页。

1．已知函数y＝f(x)，则函数图象与直线x＝a的交点( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．至多有一个
解析：选D 根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x都有唯一的函数值与之对应，故选D.
2．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(0)＋eq \r(x＋2)的定义域为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－2C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥－2，且x≠\f(1,2))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)))))
解析：选C 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)≠0，,x＋2≥0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠\f(1,2)，,x≥－2，))
即x≥－2，且x≠eq \f(1,2).故选C.
3．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1，2}，那么A∩B一定是( )
A．∅ B．∅或{1}
C．{1} D．无法确定
解析：选B 由题意可知，当x2＝1时，x＝1或x＝－1；当x2＝2时，x＝eq \r(2)或x＝－eq \r(2).所以集合A可分为含有一个、二个、三个或四个元素的集合，则A∩B＝∅或{1}．故选B.
4．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：选A ∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
5．设f(x)＝eq \f(x2－1,x2＋1)，则eq \f(f（2）,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝( )
A．1 B．－1
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
解析：选B eq \f(f（2）,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝eq \f(\f(22－1,22＋1),\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1))＝eq \f(\f(3,5),\f(－\f(3,4),\f(5,4)))＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝－1.
6．若函数y＝eq \f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋3))的定义域为R，则实数a的取值范围为________．
解析：∵y＝eq \f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋3))的定义域为R，∴不等式ax2－4ax＋3>0的解集为R.
①当a＝0时，3>0恒成立，满足题意；
②当a≠0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝16a2－12a<0，))解得0∴实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0≤a<\f(3,4))))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0≤a<\f(3,4)))))
7．设f(x)＝eq \f(1,1－x)，则f(f(x))＝________．
解析：f(f(x))＝eq \f(1,1－\f(1,1－x))＝eq \f(1,\f(1－x－1,1－x))＝eq \f(x－1,x).
答案：eq \f(x－1,x)(x≠0，且x≠1)
8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
解析：∵x＝1，2，3，4，5，
且f(x)＝2x－3.
∴f(x)的值域为{－1，1，3，5，7}．
答案：{－1，1，3，5，7}
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \r(3x－1)＋eq \r(1－2x)＋4；
(2)f(x)＝eq \f(（x＋3）0,\r(|x|－x)) .
解：(1)要使函数式有意义，必须满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－1≥0，,1－2x≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,3)，,x≤\f(1,2).))所以eq \f(1,3)≤x≤eq \f(1,2)，
即函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x≤\f(1,2))))).
(2)要使函数式有意义，
必须满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠－3，,x<0.))
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．
10．已知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．
解：(1)因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，
所以f(2)＝eq \f(1－2,1＋2)＝－eq \f(1,3).
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝eq \f(1－8,1＋8)＝－eq \f(7,9)，
f(g(x))＝eq \f(1－g（x）,1＋g（x）)＝eq \f(1－（x2－1）,1＋（x2－1）)＝eq \f(2－x2,x2)(x≠0)．
[B级 综合运用]
11．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：选ABD 在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．
12．若函数y＝f(3x＋1)的定义域为{x|－2≤x≤4}，则y＝f(x)的定义域是( )
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－5≤x≤13}
C．{x|－5≤x≤1} D．{x|－1≤x≤13}
解析：选B 函数y＝f(3x＋1)的定义域为{x|－2≤x≤4}，则－2≤x≤4，则－6≤3x≤12，所以－5≤3x＋1≤13，所以函数y＝f(x)的定义域是{x|－5≤x≤13}．故选B.
13．已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x解析：由题得，当1、2对应7时，3对应8，4对应9；当1对应7时，2、3对应8，4对应9，当1对应7时，2对应8，3、4对应9，所以一共有3个．
答案：3
14．探究是否存在函数f(x)，g(x)满足条件：
(1)定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
(2)值域相同，对应关系相同，但定义域不同．
解：(1)存在，例如f(x)＝x，g(x)＝2x＋1，定义域和值域都是R，但对应关系不同．
(2)存在，例如f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)，g(x)＝x2，x∈(－∞，0]，值域都是[0，＋∞)，但定义域不同．
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系？并证明你的结论；
解：(1)∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，
∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝1，
f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝1.
(2)由(1)可发现f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.
证明：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(2))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.