高中第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示达标测试

这是一份高中第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示达标测试，共6页。

1．以下形式中，不能表示y是x的函数的是( )
A.
B.
C．y＝x2
D．(x＋y)(x－y)＝0
解析：选D 根据函数的定义及表示方法可知，只有选项D中可化为y＝x或y＝－x，不满足函数的定义，故选D.
2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R，都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 021)＝( )
A．0 B．1
C．2 021 D．2 022
解析：选D f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，f(0)＝1，
当x＝0时，f(1)＝f(0)f(y)－f(y)＋2＝2，
当y＝0时，f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2＝2，
因此f(x)＝x＋1，
所以f(2 021)＝2 022，故选D.
3．若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))
C．(－1，3) D．(－2，1)
解析：选A 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝6，,2k＋b＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝4，))，所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.
4．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”．这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式．已知函数f(x)由下表给出，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ∵eq \f(1,2)∈(－∞，1]，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，
则10feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝10，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f(10)．
又∵10∈[2，＋∞)，∴f(10)＝3，故选D.
5．(多选)已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是( )
A．f(－3)＝4 B．f(x)＝eq \f(x2－2x＋1,4)
C．f(x)＝x2 D．f(3)＝9
解析：选AB f(2x＋1)＝x2，令t＝2x＋1，则x＝eq \f(t－1,2)，
所以f(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(t2－2t＋1,4)，
则f(x)＝eq \f(x2－2x＋1,4)，故B正确，C错误；
f(－3)＝eq \f(（－3）2－2×（－3）＋1,4)＝4，故A正确；
f(3)＝eq \f(32－2×3＋1,4)＝1，故D错误．故选A、B.
6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________．
解析：因为f(2x＋1)＝eq \f(3,2)(2x＋1)＋eq \f(1,2)，所以f(a)＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2).又f(a)＝4，所以eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)＝4，a＝eq \f(7,3).
答案：eq \f(7,3)
7．设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)＋2·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 022,x)))＝3x，则f(2 022)等于________．
解析：分别令x＝1和x＝2 022得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1）＋2f（2 022）＝3，, f（2 022）＋2f（1）＝6 066，))解得f(2 022)＝－2 020.
答案：－2 020
8．某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为y＝ax＋eq \f(b,x)，其中，当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35，且此产品生产件数不超过20.则y关于x的解析式为________．
解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(b,2)＝100，,7a＋\f(b,7)＝35，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋b＝200，,49a＋b＝245，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝196，))
所以所求函数的解析式为y＝x＋eq \f(196,x)(0答案：y＝x＋eq \f(196,x)(09．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．
(2)由图知值域为[－2，2]．
(3)由图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应．
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若函数y＝g(x)满足g(2x＋1)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式．
解：(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－3）＝9a－3b＋3＝0，,－\f(b,2a)＝－1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，))
∴f(x)＝－x2－2x＋3.
(2)g(2x＋1)＝f(x)＝－x2－2x＋3，
设2x＋1＝t，则x＝eq \f(t－1,2)，
∴g(t)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－1,2)))eq \s\up12(2)－2·eq \f(t－1,2)＋3＝－eq \f(t2,4)－eq \f(t,2)＋eq \f(15,4)，
∴g(x)＝－eq \f(x2,4)－eq \f(x,2)＋eq \f(15,4).
[B级 综合运用]
11．(2021·河北石家庄二中高一月考)若函数f(x－1)＝2x－5，且f(2a－1)＝6，则a等于( )
A.eq \f(11,4) B.eq \f(7,4)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
解析：选A 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＝2a－1，
2x－5＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(11,2)，
a＝\f(11,4).))故选A.
12．已知函数f(x)满足f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋3x，则f(x)的解析式为________________．
解析：由题意知函数f(x)满足f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋3x，即f(x)－2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，用eq \f(1,x)代换上式中的x，可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－2f(x)＝eq \f(3,x)，
联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）－2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－2f（x）＝\f(3,x)，))
解得f(x)＝－x－eq \f(2,x)(x≠0)．
答案：f(x)＝－x－eq \f(2,x)(x≠0)
13．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么这个一次函数的解析式y＝________，乘客可免费携带行李的最大重量为________ kg.
解析：设一次函数解析式y＝ax＋b(a≠0)，
代入点(30，330)与点(40，630)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(330＝30a＋b，,630＝40a＋b，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝30，,b＝－570，))即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19.
答案：30x－570 19
14.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒 子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
解：由题意可知该盒子是一个长为(a－2x)，宽为(a－2x)，高为x的长方体，
所以此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，
其中自变量x应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2x>0，,x>0，))即0所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2))).
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，利用函数图象解决下列问题：
(1)若x1(2)若f(x)的定义域和值域都是[1，b]，试求b的值．
解：(1)f(x)＝(x－1)2＋1，作出函数f(x)的图象，如图所示：
由函数f(x)的图象，可知当x1f(x2)．
(2)由函数f(x)的图象，可知当f(x)的定义域是[1，b]时，其值域应为[f(1)，f(b)]．
又f(x)的值域是[1，b]，且f(1)＝1，
所以f(b)＝b，即b2－2b＋2＝b，
解得b＝1或b＝2.
又b>1，所以b＝2.
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
x
x≤1
1x≥2
f(x)
1
2
3