高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质当堂达标检测题，共6页。

1．函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，－eq \f(3,2) B．f(0)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))，f(0) D．f(0)，eq \f(3,2)
解析：选B 观察题中函数图象，f(x)最大值、最小值分别为f(0)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))).
2．若函数f(x)＝eq \f(k,x)在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为( )
A．10 B．10或20
C．20 D．无法确定
解析：选C 当k＝0时，不符合题意；
当k>0时，f(x)＝eq \f(k,x)在[2，4]上单调递减，
∴f(x)min＝f(4)＝eq \f(k,4)＝5，∴k＝20，符合题意；
当k<0时，f(x)＝eq \f(k,x)在[2，4]上单调递增，
f(x)min＝f(2)＝eq \f(k,2)＝5，∴k＝10，
又∵k<0，∴k＝10舍去．
综上知k＝20.
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为( )
A．1 B．2
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
解析：选B 当x≥1时，函数f(x)＝eq \f(1,x)为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.
4．若∀x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，都有不等式－x＋a＋1≥0成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－eq \f(5,2) D．－eq \f(1,2)
解析：选D 设f(x)＝－x＋a＋1，由不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))都成立，可得f(x)min≥0.因为f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上是减函数，所以当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，f(x)min＝a＋eq \f(1,2)，所以a＋eq \f(1,2)≥0，即a≥－eq \f(1,2)，所以amin＝－eq \f(1,2)，故选D.
5．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)( )
A．最大值为2 B．最大值为1
C．最小值为－1 D．无最小值
解析：选BD 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示．根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)无最小值．故选B、D.
6．已知二次函数f(x)＝2x2－4x，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))上的最大值为________．
解析：由题可知二次函数f(x)＝2x2－4x图象的对称轴方程为x＝1，因此函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))上单调递增．
因为f(－1)＝6，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(3,2)，所以f(－1)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，故函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))上的最大值为f(－1)＝6.
答案：6
7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0(b＝6不合题意，舍去)．
－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
答案：－2 0
8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车，销售x辆该品牌汽车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．
解析：设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(19,2)))eq \s\up12(2)＋30＋eq \f(192,4)，所以当x＝9或10时，L最大为120万元．
答案：120
9．已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1).
(1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值．
解：(1)证明：∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1＋1,x1＋1)－eq \f(2x2＋1,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,（x1＋1）（x2＋1）).
∵1≤x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，4]上单调递增，
∴f(x)max＝f(4)＝eq \f(2×4＋1,4＋1)＝eq \f(9,5)，f(x)min＝f(2)＝eq \f(2×2＋1,2＋1)＝eq \f(5,3).
10．若函数y＝f(x)＝x2－6x＋10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值．
解：由题意知，f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
①若a≥3，f(x)min＝f(3)＝1，不符合题意；
②若0所以f(x)min＝f(a)＝2，所以a＝2或a＝4，因为0综上所述，a＝2.
[B级 综合运用]
11．已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x－1)，其定义域是[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值eq \f(5,3)，无最小值
B．f(x)有最大值eq \f(5,3)，最小值eq \f(7,5)
C．f(x)有最大值eq \f(7,5)，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值eq \f(7,5)
解析：选A 因为函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x－1)＝eq \f(2（x－1）＋3,x－1)＝2＋eq \f(3,x－1)，由函数的图象可知f(x)在[－8，－4)上单调递减，则f(x)在x＝－8处取得最大值，最大值为eq \f(5,3)，x＝－4取不到函数值，即最小值取不到．故选A.
12．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
解析：选BCD 函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当01时，因为f(x)在区间[0，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，所以f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(1)＝1，D正确．故选B、C、D.
13．已知函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[0，m]上有最大值2，最小值1，则m的取值范围为________．
解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝1，且f(x)min＝f(1)＝1.
令f(x)＝x2－2x＋2＝2，解得x＝0或x＝2.
由题意及图象可知，1≤m≤2.
即m的取值范围是[1，2]．
答案：[1，2]
14．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
解：(1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由题中表格可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(45a＋b＝27，,50a＋b＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝162，))
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
所以当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润．
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)为二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，且f(x)在区间[－1，4]上的最大值为12.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解：(1)由题意可设f(x)＝ax(x－5)(a>0)，又由题可知，f(x)的图象开口向上，图象的对称轴为直线x＝eq \f(5,2)，则在区间[－1，4]上，f(x)max＝f(－1)＝6a＝12，解得a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.
(2)由(1)知，当t≥eq \f(5,2)时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，则g(t)＝f(t)＝2t2－10t；当t当t＋1≤eq \f(5,2)，即t≤eq \f(3,2)时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则g(t)＝f(t＋1)＝2t2－6t－8.
综上所述，g(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2t2－6t－8，t≤\f(3,2)，,－\f(25,2)，\f(3,2)x
45
50
y
27
12