高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数同步达标检测题

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1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))＝( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(5,2)
解析：选C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)))eq \s\up12(－\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up12(－1)＝eq \f(2,5).故选C.
2．(2021·重庆南开中学高一期中)eq \r(3,a·\r(a))的分数指数幂表示为( )
A．aeq \s\up6(\f(1,2)) B．aeq \s\up6(\f(3,2))
C．aeq \s\up6(\f(3,4)) D．a
解析：选A eq \r(3,a·\r(a))＝(a·aeq \s\up6(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(1,3))＝aeq \s\up6(eq \f(3,2)×eq \f(1,3))＝aeq \s\up6(\f(1,2))，故选A.
3．(多选)下列各式中一定成立的有( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))eq \s\up12(7)＝n7meq \s\up6(\f(1,7)) B.eq \r(12,（－3）4)＝eq \r(3,3)
C.eq \r(4,x3＋y4)＝(x＋y)eq \s\up6(\f(3,4)) D.eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3)
解析：选BD A中应为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))eq \s\up12(7)＝n7m－7；eq \r(12,（－3）4)＝eq \r(12,34)＝eq \r(3,3)，B正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确．故选B、D.
4．若a＋b＝meq \s\up6(\f(1,3))，ab＝eq \f(1,6)meq \s\up6(\f(2,3))(m>0)，则a3＋b3＝( )
A．0 B.eq \f(m,2)
C．－eq \f(m,2) D.eq \f(3m,2)
解析：选B a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝meq \s\up6(\f(1,3))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\s\up6(\f(2,3))－\f(1,2)m\s\up6(\f(2,3))))＝eq \f(1,2)m.
5．设aeq \s\up6(\f(1,2))－aeq \s\up6(-\f(1,2))＝m，则eq \f(a2＋1,a)等于( )
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
解析：选C 将aeq \s\up6(\f(1,2))－aeq \s\up6(-\f(1,2))＝m两边平方，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,2))－aeq \s\up6(-\f(1,2))))eq \s\up12(2)＝m2，
即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋eq \f(1,a)＝m2＋2，所以eq \f(a2＋1,a)＝m2＋2.
6．计算：(－9.6)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋1.5－2＝________．
解析：原式＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)
＝1－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)
＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)
＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)
＝1.
答案：1
7．若a>0，b>0，则化简 eq \r(\f(b3,a)\r(\f(a2,b6)))的结果为________．
解析： eq \r(\f(b3,a)\r(\f(a2,b6)))＝eq \r(\f(b3,a)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,b6)))\s\up6(\f(1,2)))＝eq \r(\f(b3a,ab3))＝1.
答案：1
8．如果a＝3，b＝384，那么aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up6(\f(1,7))))eq \s\up12(n－3)＝________．
解析：aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up6(\f(1,7))))eq \s\up12(n－3)＝3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(384,3)))\s\up6(\f(1,7))))eq \s\up12(n－3)
＝3[(128)eq \s\up6(\f(1,7))]n－3＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
9．化简下列各式：
(1) eq \r(x2－2xy＋y2)＋eq \r(7,（y－x）7)；
(2)(2aeq \s\up6(\f(4,3))beq \s\up6(\f(1,4)))(－6aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,3)))÷(－3aeq \s\up6(\f(1,6))beq \s\up6(\f(1,6)))；
(3)eq \f(a\s\up6(\f(2,3))·\r(b),aeq \s\up12(－\f(1,2))·\r(3,b))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1\r(b－1),b\r(a))))eq \s\up12(－\f(1,3))(a>0，b>0)．
解：(1)原式＝eq \r(（x－y）2)＋y－x＝|x－y|＋y－x.当x≥y时，原式x－y＋y－x＝0；当x(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]·aeq \f(4,3)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,6)·beq \f(1,4)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,6)＝4aeq \s\up6(\f(5,3))beq \s\up6(\f(5,12)).
(3)原式＝eq \f(a\s\up6(\f(2,3))·b\s\up6(\f(1,2)),aeq \s\up12(－\f(1,2))·b\s\up6(\f(1,3)))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1beq \s\up12(－\f(1,2)),b·a\s\up6(\f(1,2)))))eq \s\up12(－\f(1,3))
＝[aeq \s\up12(eq \f(2,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))·beq \s\up12(eq \f(1,2)－eq \f(1,3))]÷(aeq \s\up12(－1－eq \f(1,2))·beq \s\up12(－eq \f(1,2)－1))eq \s\up12(－\f(1,3))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(7,6))b\s\up6(\f(1,6))))÷(aeq \s\up12(－\f(3,2))beq \s\up12(－\f(3,2)))eq \s\up12(－\f(1,3))＝(aeq \s\up6(\f(7,6))·beq \s\up6(\f(1,6)))÷(aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,2)))＝aeq \s\up12(eq \f(7,6)－eq \f(1,2))beq \s\up12(eq \f(1,6)－eq \f(1,2))＝aeq \s\up6(\f(2,3))beq \s\up12(－\f(1,3)).
10．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)·(c－1)．
证明：∵2a·3b＝6，∴2a－1·3b－1＝1.
∴(2a－1·3b－1)d－1＝1，即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1.①
又∵2c·3d＝6，∴2c－1·3d－1＝1.
∴(2c－1·3d－1)b－1＝1，即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1.②
由①②知2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．
[B级 综合运用]
11．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x·2x＋a－1，若f(－1)＝eq \f(3,4)，则a等于( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
解析：选A ∵f(－1)＝eq \f(3,4)，∴f(1)＝－f(－1)＝－eq \f(3,4)，即21＋a－1＝－eq \f(3,4)，即1＋a＝－2，得a＝－3.
12．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝eq \f(1,5).
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝2eq \s\up6(\f(1,5)).
答案：eq \f(1,4) 2eq \s\up6(\f(1,5))
13．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．
解析：因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2m＋n＝2－2， ①,am－n＝28， ②))
所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.
将am＝22代入②，得22·a－n＝28，所以an＝2－6，
所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4×2－6＝22＝4.
答案：4
14．(2021·安徽庐巢六校联盟高一段考)已知函数f(x)＝eq \f(ax＋a－x,2)(a>0，a≠1，a为常数，x∈R)．
(1)若f(m)＝6，求f(－m)的值；
(2)若f(1)＝3，求f(2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值．
解：(1)∵f(m)＝6，∴eq \f(am＋a－m,2)＝6，∴f(－m)＝eq \f(a－m＋am,2)＝6.
(2)∵f(1)＝3，∴eq \f(a＋a－1,2)＝3，∴a＋a－1＝6，
∴f(2)＝eq \f(a2＋a－2,2)＝eq \f(（a＋a－1）2－2,2)＝17.
∵(aeq \s\up6(\f(1,2))＋aeq \s\up6(－\f(1,2)))2＝a＋a－1＋2＝8，∴aeq \s\up6(\f(1,2))＋aeq \s\up6(－\f(1,2))＝2eq \r(2)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(a\s\up6(\f(1,2))＋aeq \s\up6(－\f(1,2)),2)＝eq \r(2).
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝eq \f(22x,2＋22x).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，f(3)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)＋f(1－x)的值．
解：(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(2\s\up6(\f(2,3)),2＋2\s\up6(\f(2,3)))＋eq \f(2\s\up6(\f(4,3)),2＋2\s\up6(\f(4,3)))
＝eq \f(1,2\s\up6(\f(1,3))＋1)＋eq \f(2\s\up6(\f(1,3)),1＋2\s\up6(\f(1,3)))＝1.
f(3)＋f(－2)＝eq \f(26,2＋26)＋eq \f(2－4,2＋2－4)＝eq \f(26,2＋26)＋eq \f(1,25＋1)
＝eq \f(26,2＋26)＋eq \f(2,26＋2)＝1.
(2)f(x)＋f(1－x)＝eq \f(22x,2＋22x)＋eq \f(22（1－x）,2＋22（1－x）)＝eq \f(4x,2＋4x)＋eq \f(41－x,2＋41－x)＝eq \f(4x,2＋4x)＋eq \f(4,2·4x＋4)＝eq \f(4x,2＋4x)＋eq \f(2,4x＋2)＝eq \f(4x＋2,2＋4x)＝1.