高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数课时训练

对数函数的概念

[A级　基础巩固]

1．函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域为(　　)

A．[－1，3)　　　　　　 B．(－1，3)

C．(－1，3]  D．[－1，3]

解析：选C　根据题意，得解得－1<x≤3，

∴函数f(x)的定义域为(－1，3]．

2．(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)

A．y＝logπx  B．y＝log x

C．y＝log4x2  D．y＝log2(x＋1)

解析：选AB　判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A、B正确．

3．下列函数中，与函数y＝x相等的是(　　)

A．y＝()2  B．y＝

C．y＝2log2x  D．y＝log22x

解析：选D　因为y＝log22x的定义域为R，且根据对数恒等式知y＝x.

4．(2021·湖北荆门高一月考)函数f(x)＝(a2＋a－5)·logax为对数函数，则f等于(　　)

A．3  B．－3

C．－log36  D．－log38

解析：选B　∵函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，

∴解得a＝2，∴f(x)＝log2x，

∴f＝log2＝－3.故选B.

5．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为(　　)

A．0  B．10

C．1  D.

解析：选C　由已知，得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0<x≤10时，lg x≤1，所以a＝1.故选C.

6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．

解析：由对数函数的定义可知，

解得a＝5.

答案：5

7．已知函数f(x)＝log3x，则方程[f(x)]2＝2－log9(3x)的解集是________．

解析：由已知得(log3x)2＝2－log9(3x)，

∴(log3x)2＝2－log3(3x)＝2－(log33＋log3x)，

即(log3x)2＋log3x－＝0，令t＝log3x，

则方程可化为t2＋t－＝0，解得t＝1或t＝－，

∴x＝3或x＝，

∴方程[f(x)]2＝2－log9(3x)的解集是.

答案：

8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．

解析：由题意得5＝2log4x－2，

即7＝log2x，得x＝128.

答案：128

9．求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝＋ln(x＋1)．

解：(1)要使函数有意义，需

即即－3<x<－2或x≥2，

故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需即

∴－1<x<2.

故所求函数的定义域为(－1，2)．

10．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0)．

(1)求a的值；

(2)求函数的定义域．

解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)中，

有0＝loga(－1＋a)，

则－1＋a＝1，所以a＝2.

(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，

所以函数的定义域为{x|x>－2}．

[B级　综合运用]

11．函数y＝的定义域为(　　)

A．(0，1)∪(1，2)  B．[0，2)

C．(0，2]  D．[0，1)∪(1，2)

解析：选D　由题意得解得

所以函数的定义域为 [0，1)∪(1，2)．

12．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是(　　)

A．f(x)＝x2  B．f(x)＝2x

C．f(x)＝log2x  D．f(x)＝eln x

解析：选C　∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，

∴f(x)＝log2x满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”．

13．已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f(x)＝________，f＝________．

解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f＝loga＝－2，得a＝，所以f(x)＝logx，所以f＝log＝－4.

答案：logx　－4

14．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的汽染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．

(1)求常数k的值；

(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)

解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0；

当t＝5时，P＝90%P0.

于是有90%P0＝P0e－5k，

解得k＝－ln 0.9(或k≈0.022)．

(2)由(1)知P＝P0et，当P＝40%P0时，

有0.4P0＝P0et，

解得t＝≈＝≈42.

故污染物减少到40%至少需要42 h.

[C级　拓展探究]

15．(2021·山东菏泽高一月考)设全集U＝R，函数f(x)＝＋lg(a＋3－x)的定义域为集合A，集合B＝.命题p：若________，则A∩B≠∅.

从①a＝－5；②a＝－3；③a＝2，这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中，使命题p为真命题，说明理由，并求A∩(∁UB)．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：要使函数f(x)有意义，

只需解得a≤x<a＋3，

即A＝[a，a＋3)．

由≤2x≤32，

得－2≤x≤5，即B＝[－2，5]．

选择第①个条件：当a＝－5时，A＝[－5，－2)，

∴A∩B＝∅，不满足条件．

选择第②个条件：

当a＝－3时，A＝[－3，0)，

∴A∩B＝[－2，0)，满足条件．

∵∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，

∴A∩(∁UB)＝[－3，－2)．

选择第③个条件：

当a＝2时，A＝[2，5)，

∴A∩B＝[2，5)，满足条件．

∵∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，

∴A∩(∁UB)＝∅.