高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念课后复习题，共5页。

1．已知角α的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))，则sin α·tan α＝( )
A．－eq \f(\r(3),3) B．±eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(3,2) D．±eq \f(3,2)
解析：选C ∵点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))在单位圆上，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝1，∴y2＝eq \f(3,4).由三角函数的定义可得sin α＝y，tan α＝eq \f(y,x)，
因此sin α·tan α＝eq \f(y2,x)＝－eq \f(3,2)，故选C.
2．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cs 30°)，那么sin α＝( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选D 依题意可知点(2sin 30°，－2cs 30°)，即(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋（－\r(3)）2)＝2，因此sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(\r(3),2).
3．若sin αcs α＜0，sin α－cs α＞0，则eq \f(α,2)的终边所在象限是( )
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限
解析：选A 因为sin αcs α＜0，sin α－cs α＞0，所以sin α＞0＞cs α，故α是第二象限角，即2kπ＋eq \f(π,2)＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋eq \f(π,4)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，当k为偶数时，eq \f(α,2)的终边在第一象限，当k为奇数时，eq \f(α,2)的终边在第三象限．故eq \f(α,2)的终边所在象限是第一或第三象限．
4．若三角形的两内角α，β满足sin αcs β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
解析：选B ∵sin αcs β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cs β<0，∴β为钝角．
5．(2021·海南海口龙华高一月考)以原点为圆心的单位圆上一点P从(1，0)出发，沿逆时针方向运动eq \f(7π,3)弧长到达点Q，则点Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
解析：选D 设单位圆的半径为r，点P运动所形成的圆弧eq \(PQ,\s\up8(︵))的长为l，则r＝1，l＝eq \f(7π,3)，∴eq \(PQ,\s\up8(︵))对应的圆心角α＝eq \f(l,r)＝eq \f(7π,3)＝2π＋eq \f(π,3).设Q(x，y)，由任意角的三角函数定义，可得x＝cs α＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，y＝sin α＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
∴点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
6．计算sin(－1 410°)＝________．
解析：sin(－1 410°)＝sin(－4×360°＋30°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
7．已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－eq \f(\r(2),2)，则tan α＝________．
解析：设M(x，y)，∵r＝1，∴sin α＝y＝－eq \f(\r(2),2)，
∴x2＝1－y2＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
∴x＝±eq \f(\r(2),2)，∴tan α＝eq \f(y,x)＝±1.
答案：±1
8．已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)(k∈Z)，则t＝________．
解析：sin(2kπ＋α)＝sin α＝－eq \f(3,5)<0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t<0，又sin α＝eq \f(4t,\r(9＋16t2))，所以eq \f(4t,\r(9＋16t2))＝－eq \f(3,5)，所以t＝－eq \f(9,16).
答案：－eq \f(9,16)
9．求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cs 1 110°＋cs(－1 020°)sin 750°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)·tan 4π.
解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)·cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cs 30°＋cs 60°·sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋ \r(6),4).
(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2).
10．已知角α的终边上一点P(m，－eq \r(3))(m≠0)，且cs α＝eq \f(\r(2)m,4).
(1)求m的值；
(2)求sin α和tan α.
解：(1)由题设知r＝|OP|＝ eq \r(（－ \r(3)）2＋m2)＝ eq \r(3＋m2)(O为坐标原点)，因此cs α＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2)m,4)，
∴2eq \r(2)＝ eq \r(3＋m2)，解得m＝±eq \r(5).
(2)当m＝ eq \r(5)时，sin α＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝－eq \f(\r(15),5).
当m＝－eq \r(5)时，sin α＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(\r(15),5).
[B级 综合运用]
11．(多选)下列命题中正确的是( )
A．若cs θ＜0，则θ是第二或第三象限角
B．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角
C．若α是第三象限角，则sin αcs α＞0且cs α·tan α＜0
D．设角α为第二象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＝－cseq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)为第三象限角
解析：选CD 若cs θ＜0，则θ为第二或第三象限角或终边在x轴的负半轴上，A不正确；若sin α＝sin β，则α与β的终边不一定相同，B不正确；∵α是第三象限角，
∴sin α＜0，cs α＜0，tan α＞0，
∴sin αcs α＞0且cs αtan α＜0，C正确；
∵角α为第二象限角，∴eq \f(α,2)在第一或第三象限，又由条件知cseq \f(α,2)≤0，∴eq \f(α,2)在第三象限，D正确．
12．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f(sin α,\r(1－sin2α))＋eq \f(\r(1－cs2α),cs α)的值等于( )
A．0 B．－2
C．2 D．－2或2
解析：选A 若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(\r(2),2)，,cs α＝－\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(\r(2),2)，,cs α＝\f(\r(2),2)，))分别代入eq \f(sin α,\r(1－sin2α))＋eq \f(\r(1－cs2α),cs α)中可得其值为0.
13．已知角θ的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin θ＞0，cs θ＜0，则α的取值范围是________．
解析：已知θ的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin θ＞0，cs θ＜0，则θ为第二象限角，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋2＞0，,3a－9＜0，))
解得－2＜a＜3.
答案：(－2，3)
14．已知角α的终边所在的直线上有一点P(－eq \r(3)，m＋1)，m∈R.
(1)若α＝60°，求实数m的值；
(2)若cs α＜0且tan α＞0，求实数m的取值范围．
解：(1)依题意得，tan α＝eq \f(m＋1,－\r(3))＝tan 60°＝eq \r(3)，
所以m＝－4.
(2)由cs α＜0且tan α＞0，得α为第三象限角，
故m＋1＜0，所以m＜－1.
[C级 拓展探究]
15．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，所以sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＋m2＝1，
得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).