人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质巩固练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质巩固练习，共6页。

1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．
2．(多选)对于余弦函数y＝cs x的图象，有以下描述，其中正确的有( )
A．将[0，2π]内的图象向左、向右无限延展就可得到y＝cs x的图象
B．与y＝sin x图象形状完全一样，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
解析：选ABCD 根据余弦函数的图象可以判断都正确．
3．不等式cs x<0，x∈[0，2π]的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))
解析：选A 由y＝cs x的图象知，
在[0，2π]内使cs x<0的x的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))).
4．函数y＝cs x＋|cs x|，x∈[0，2π]的大致图象为( )
解析：选D 由题意得
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2cs x，0≤x≤\f(π,2)或\f(3,2)π≤x≤2π，,0，\f(π,2)故选D.
5．(2021·福建三明高一月考)函数f(x)＝lg4x的图象与函数g(x)＝sin πx的图象的交点个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 依题意，画出两个函数的图象如图所示，
由图可知，两个函数的图象有3个交点，故选B.
6．用“五点法”作函数y＝1－cs x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是________________．
解析：x依次取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π得五个关键点(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)．
答案：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)
7．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－eq \f(1,2)≤m≤0.
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
8．方程sin x＝eq \f(1,100)x2有________个正实数根．
解析：如图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sin x和y＝eq \f(1,100)x2在y轴右侧的图象．由图象知，函数y＝sin x和y＝eq \f(1,100)x2的图象有3个交点．故方程sin x＝eq \f(1,100)x2有3个正实数根．
答案：3
9．利用“五点法”作出函数y＝2sin x－1(0≤x≤2π)的简图．
解：按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(\r(3),2)))；(2)y＝ eq \r(2cs x－ \r(2)).
解：(1)要使函数有意义，则sin x>eq \f(\r(3),2)，作出y＝sin x在[0，2π]内的图象如图所示．
由图象知，在[0，2π]内使sin x>eq \f(\r(3),2)的x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3))).
故原函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(2,3)π))(k∈Z)．
(2)要使函数有意义，则2cs x－eq \r(2)≥0，
∴cs x≥eq \f(\r(2),2)，画出y＝cs x的图象及直线y＝eq \f(\r(2),2)，如图所示，
由图象可知函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,4)，2kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．
[B级 综合运用]
11．(多选)下列命题中，真命题的是( )
A．y＝sin|x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cs(－x)的图象与y＝cs|x|的图象相同
C．y＝|sin x|的图象与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cs x的图象与y＝cs(－x)的图象相同
解析：选BD 对于B，y＝cs(－x)＝cs x，y＝cs|x|＝cs x，故其图象相同；对于D，y＝cs(－x)＝cs x，故这两个函数图象相同，作图(图略)可知A、C均是假命题．
12．(多选)下列x的取值范围能使cs x>sin x成立的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,4)))
解析：选AC 在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在[0，2π]内的图象，如图所示．
在[0，2π]内，当cs x＝sin x时，x＝eq \f(π,4)或x＝eq \f(5π,4)，结合图象可知满足cs x>sin x的是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，故选A、C.
13．若函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2)))的图象与直线y＝1围成一个平面图形，则这个平面图形的面积是________．
解析：如图，由正弦函数图象的对称性知，所围成平面图形的面积是长为eq \f(5π,2)－eq \f(π,2)＝2π，宽为1的矩形的面积，∴S＝2π.
答案：2π
14．(2021·安徽定远重点中学高一质检)已知定义在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，\f(3π,2)))上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，当x≥eq \f(π,4)时，f(x)＝－sin x.
(1)作出y＝f(x)的图象；
(2)求y＝f(x)的解析式；
(3)若关于x的方程f(x)＝－eq \f(9,10)有解，将方程所有解的和记作M，结合(1)中的图象，求M的值．
解：(1)y＝f(x)的图象如图所示．
(2)任取x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，\f(π,4)))，则eq \f(π,2)－x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,2)))，
因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，
所以f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))，
又当x≥eq \f(π,4)时，f(x)＝－sin x，
所以f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝－cs x.
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－cs x，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，\f(π,4)))，,－sin x，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,2))).))
(3)当x＝eq \f(π,4)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2).因为－eq \f(9,10)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(2),2)))，所以结合图象可知，f(x)＝－eq \f(9,10)有4个解，分别设为x1，x2，x3，x4，且4个解满足x1所以M＝x1＋x2＋x3＋x4＝π.
[C级 拓展探究]
15．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
解：列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1;
②当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3)．
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
2sin x
0
2
0
－2
0
2sin x－1
－1
1
－1
－3
－1
x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1