高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步训练题，共6页。

1．函数y＝|tan x|的图象与直线y＝1的两个相邻交点之间的距离是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,2) D．π
解析：选C 因为函数y＝|tan x|的最小正周期为π，且由|tan x|＝1可得x＝kπ±eq \f(π,4)(k∈Z)，所以函数y＝|tan x|的图象与直线y＝1的两个相邻交点之间的距离为函数y＝|tan x|的半个周期，即eq \f(π,2).
2．已知函数f(x)＝tan ωx(0<ω<1)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的最大值为eq \r(3)，则ω＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
解析：选A 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，且0<ω<1，
所以0≤ωx≤eq \f(2ωπ,3)所以f(x)max＝tan eq \f(2ωπ,3)＝eq \r(3)＝tan eq \f(π,3)，
所以eq \f(2ωπ,3)＝eq \f(π,3)，解得ω＝eq \f(1,2).
3．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z
解析：选C 由－eq \f(π,2)＋kπ4．已知x∈[0，2π]，则函数y＝eq \r(tan x)＋eq \r(－cs x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
解析：选C 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan x≥0，,－cs x≥0，,0≤x≤2π，))
∴函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，故选C.
5．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan |x|在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
解析：选D y＝tan(－x)＝－tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③.故选D.
6．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，则φ的值为________．
解析：因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))是函数f(x)的图象的一个对称中心，所以eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以φ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z，由于|φ|答案：－eq \f(π,3)或eq \f(π,6)
7．比较大小：tan eq \f(2π,7)________tan eq \f(10π,7).
解析：tan eq \f(10π,7)＝tan eq \f(3π,7)，且0又y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以tan eq \f(2π,7)答案：<
8．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))的值域是________．
解：y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，∴2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
∴0≤taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤eq \r(3)，
∴－eq \r(3)≤taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))≤0.
故函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))的值域为[－eq \r(3)，0]．
答案：[－eq \r(3)，0]
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(tan2x－tan x,1－tan x)；
(2)f(x)＝xtan 2x＋x4.
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)（k∈Z），,tan x≠1))得
x≠kπ＋eq \f(π,2)且x≠kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
即定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))，
不关于原点对称，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)))＋\f(π,4)，k∈Z))，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)tan[2(－x)]＋(－x)4＝xtan 2x＋x4＝f(x)，所以函数是偶函数．
10．设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).
(1)求函数的定义域；
(2)求不等式f(x)≤eq \r(3)的解集．
解：(1)根据函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))，可得eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z.
故函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z)))).
(2)不等式f(x)≤ eq \r(3)，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))≤ eq \r(3)，
所以kπ－eq \f(π,2)求得2kπ－eq \f(π,3)故不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z.
[B级 综合运用]
11．(多选)函数y＝taneq \f(x,2)的性质有( )
A．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
B．为奇函数
C．以π为最小正周期
D．定义域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))
解析：选AB 令x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \f(x,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以y＝tan eq \f(x,2)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以A正确；
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))＝－tan eq \f(x,2)，故y＝tan eq \f(x,2)为奇函数，所以B正确；
T＝eq \f(π,ω)＝2π，所以C不正确；
由eq \f(x,2)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得函数的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以D不正确．
12．已知函数f(x)＝asin x＋btan x－1(a，b∈R)，若f(－2)＝2 020，则f(2)＝( )
A．2 021 B．－2 022
C．2 022 D．－2 021
解析：选B 根据题意，函数f(x)＝asin x＋btan x－1，设g(x)＝f(x)＋1＝asin x＋btan x，
则g(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＝－(asin x＋btan x)＝－g(x)，
则函数g(x)为奇函数，
则g(2)＋g(－2)＝f(2)＋1＋f(－2)＋1＝0，
又由f(－2)＝2 020，得f(2)＝－2 022.
13．已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝________．
解析：由题意，可知T＝eq \f(π,4)，所以ω＝eq \f(π,\f(π,4))＝4，即f(x)＝tan 4x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝tan π＝0.
答案：0
14．(2021·浙江衢州五校高一检测)已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
(1)当θ＝－eq \f(π,6)，x∈[－1，eq \r(3) ]时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)若函数g(x)＝eq \f(f（x）,x)为奇函数，求θ的值；
(3)求使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3) ]上是单调函数的θ的取值范围．
解：(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，f(x)＝x2－eq \f(2\r(3),3)x－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)－eq \f(4,3).
∵x∈[－1，eq \r(3) ]，且f(x)的图象开口向上，
∴当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)min＝－eq \f(4,3)；
当x＝－1时，f(x)max＝eq \f(2\r(3),3).
(2)由题可知g(x)＝x－eq \f(1,x)＋2tan θ，
∵g(x)为奇函数，
∴0＝g(－x)＋g(x)＝－x＋eq \f(1,x)＋2tan θ＋x－eq \f(1,x)＋2tan θ＝4tan θ，
∴tan θ＝0，
∴θ＝kπ，k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数，
∴－tan θ≥ eq \r(3)或－tan θ≤－1，
即tan θ≤－eq \r(3)或tan θ≥1，
∴－eq \f(π,2)＋kπ<θ≤－eq \f(π,3)＋kπ或eq \f(π,4)＋kπ≤θ故θ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，－\f(π,3)＋kπ))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z.
[C级 拓展探究]
15．有两个函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx＋\f(π,3)))，g(x)＝btaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))(k>0)，它们的周期之和为eq \f(3π,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))
＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－eq \r(3)·geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋1.求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间．
解：根据题意，可得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2π,k)＋\f(π,k)＝\f(3π,2)，,asin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)))＝btan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,3)))，,asin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋\f(π,3)))＝－\r(3)btan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,3)))＋1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2，,a＝1，,b＝\f(1,2)，))
故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，g(x)＝eq \f(1,2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
当kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(π,3)即eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)所以g(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)．