2021学年5.3 诱导公式课堂检测

二倍角的正弦、余弦、正切公式

[A级　基础巩固]

1．化简＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C.  D．－1

解析：选B　＝＝＝2.故选B.

2．设sin α＝，2π<α<3π，则sin ＋cos ＝(　　)

A．－  B.

C.  D．－

解析：选A　∵sin α＝，

∴＝1＋sin α＝.

又2π<α<3π，

∴π<<，

∴sin ＋cos＝－.

3．(多选)下列各式中，值为的是(　　)

A．2sin 15°cos 15°  B．1－2sin215°

C．sin215°＋cos215°  D.

解析：选BD　A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，1－2sin215°＝cos 30°＝；C不符合，sin215°＋cos215°＝1；D符合，＝·＝·tan 30°＝.故选B、D.

4．若sin＝，则sin 2θ＝(　　)

A.  B.

C.  D．±

解析：选C　若sin＝，

则sin＝－，

∴sin 2θ＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.

5．(2021·湖北省襄阳市月考)若cos α＝－，α是第三象限角，则＝(　　)

A．－  B.

C．2  D．－2

解析：选A　∵cos α＝－，α是第三象限角，∴sin α＝－，

∴＝＝＝＝－.

6．(2021·吉林五地六校高一月考)4cos 50°－tan 40°＝________．

解析：4cos 50°－tan 40°

＝

＝＝

＝

＝

＝＝.

答案：

7．若tan＝，则tan 2α＋＝________．

解析：由tan＝＝，可求得tan α＝，

则tan 2α＋＝＋＝＝＝2.

答案：2

8．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．

解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，

sin B＝＝ ＝.

所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B

＝2××＝.

答案：

9．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．

解：原式＝

＝.

因为α为第二象限角，且 sin α＝，

所以cos α＝－，sin α＋cos α≠0，

所以原式＝＝－.

10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，求α＋2β的值．

解：∵β为锐角，且cos β＝，

∴sin β＝.

∴tan β＝，tan 2β＝＝＝.

∴0<2β<，0<α＋2β<π，

又tan(α＋2β)＝＝＝－1，

∴α＋2β＝.

[B级　综合运用]

11．若tan ·cos ＝sin －msin ，则实数m的值为(　　)

A．2  B.

C．2  D．3

解析：选A　由tan cos ＝sin －msin 得，

msin cos ＝sin cos －cos ·sin ，

因此msin＝sin＝sin ，

∴m＝，即m＝2，故选A.

12．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是(　　)

A．等边三角形  B．等腰三角形

C．直角三角形  D．等腰直角三角形

解析：选B　由sin Bsin C＝cos2得sin Bsin C＝，

∴2sin Bsin C＝1＋cos A，

∴2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，

∴2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，

∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，∴cos(B－C)＝1.

又∵－180°<B－C<180°，∴B－C＝0°，

∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形．

13．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝，则tan α＝________，β＝________．

解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，

得1－(1－2sin2α)＝sin αcos α，

即2sin2α＝sin αcos α.

∵α为锐角，∴sin α≠0，

∴2sin α＝cos α，即tan α＝.

法一：由tan(β－α)＝

＝＝，得tan β＝1.

∵β为锐角，∴β＝.

法二：tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝＝1.

∵β为锐角，∴β＝.

答案：　

14．(2021·北京东城高一质检)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β.

(1)求tan α的值；

(2)求cos(α＋β)的值．

解：(1)∵角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，

∴tan α＝＝－.

(2)以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β，∴β＝α＋.

易得cos α＝－，sin α＝，

∴sin 2α＝2sin αcos α＝－，

cos 2α＝2cos2α－1＝－.

∴cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos －sin 2αsin ＝(cos 2α－sin 2α)＝.

[C级　拓展探究]

15．(2021·山东烟台高一月考)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．

cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；

cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)；

cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°)．

(1)求出这个常数；

(2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．

解：(1)cos215°＋cos215°－sin 15°·sin 15°

＝2cos215°－sin215°

＝1＋cos 30°－(1－cos 30°)

＝1＋－×＝.(2)推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝.

证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，

cos2α＋cos2β－sin αsin β

＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin(30°－α)

＝cos2α＋－sin α·

＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α

＝cos2α＋sin2α＝.