数学3.3 幂函数同步达标检测题

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1．若f(x)是幂函数，且满足eq \f(f（4）,f（2）)＝4，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．－4 B．4
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
解析：选D 设f(x)＝xα，则f(4)＝4α＝22α，f(2)＝2α.
∵eq \f(f（4）,f（2）)＝eq \f(22α,2α)＝2α＝4＝22，
∴α＝2，∴f(x)＝x2，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，故选D.
2．(多选)已知幂函数f(x)＝xeq \s\up6(\f(m,n))(m，n∈N*，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是( )
A．m，n是奇数时，f(x)是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，f(x)是偶函数
D．0解析：选AB f(x)＝xeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,xm)，当m，n是奇数时，f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f(x)在x<0时无意义，故C中的结论错误；当03．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，4)，则f(x)在定义域内( )
A．为增函数 B．为减函数
C．有最小值 D．有最大值
解析：选C 设幂函数f(x)＝xα，由f(－2)＝4，得(－2)α＝4，所以α＝2，即f(x)＝x2，所以函数f(x)在定义域内有最小值0.故选C.
4．如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
解析：选A 由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m<0，n<0.由幂函数图象的特点知n5．已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝eq \r(x)＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[2eq \r(3)，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．(0，eq \r(2) ]∪[2eq \r(3)，＋∞) D．(0，eq \r(2) ]∪[3，＋∞)
解析：选B 当01时，06．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(α)＝eq \f(\r(2),2)，即α＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))的单调递增区间是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．已知y＝(2a＋b)xa＋b＋(a－2b)是幂函数，则a＝________，b＝________．
解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝1，,a－2b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,5)，,b＝\f(1,5).))
答案：eq \f(2,5) eq \f(1,5)
8．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋1)xm2－4m＋1的图象不经过原点，则实数m的值为________．
解析：依题意得m2－3m＋1＝1，解得m＝0或m＝3.当m＝0时，f(x)＝x，其图象经过原点，不符合题意；当m＝3时，f(x)＝x－2，其图象不经过原点，符合题意，因此实数m的值为3.
答案：3
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±eq \r(2).
10．比较下列各组数的大小：
(1)3eq \s\up6(－\f(7,2))和3.2eq \s\up6(－\f(7,2))；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up6(\f(2,3))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))eq \s\up6(\f(2,3))；
(3)4.1eq \s\up6(\f(2,5))和3.8－eq \f(4,3).
解：(1)函数y＝xeq \s\up6(－\f(7,2))在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3eq \s\up6(－\f(7,2))＞3.2eq \s\up6(－\f(7,2)).
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up6(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up6(\f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))eq \s\up6(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))eq \s\up6(\f(2,3))，函数y＝xeq \s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，而eq \f(2,3)＞eq \f(π,6)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up6(\f(2,3))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))eq \s\up6(\f(2,3)).
(3)4.1eq \s\up6(\f(2,5))＞1eq \s\up6(\f(2,5))＝1，0＜3.8eq \s\up6(－\f(4,3))＜1eq \s\up6(－\f(4,3))＝1，
所以4.1eq \s\up6(\f(2,5))＞3.8eq \s\up6(－\f(4,3)).
[B级 综合运用]
11．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：选B 当x>1时，恒有f(x)1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象(图略)．由图象可知α<1时满足题意，故选B.
12．(多选)(2021·山东日照高一校际联考)已知函数f(x)＝xa的图象经过点(4，2)，则( )
A．函数f(x)在定义域内为增函数
B．函数f(x)为偶函数
C．当x>1时，f(x)>1
D．当0解析：选ACD 由题意得4a＝2，解得a＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(x).易得函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；当x>1时，f(x)＝eq \r(x)>1，故C正确；由函数图象(图略)，易知f(x)＝eq \r(x)为“上凸函数”，故D正确．故选A、C、D.
13．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,3)).某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．
解析：对于函数①，f(x)＝x－1是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x－2是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．
答案：②
14．已知幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2，3)上为单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)由f(x)为幂函数知2m2－6m＋5＝1，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x2，是偶函数，符合题意；
当m＝2时，f(x)＝x3，为奇函数，不合题意，舍去．
故f(x)＝x2.
(2)由(1)得y＝x2－2(a－1)x＋1，函数的对称轴为x＝a－1，由题意知函数在区间(2，3)上为单调函数，
∴a－1≤2或a－1≥3，相应解得a≤3或a≥4.
故实数a的取值范围为(－∞，3]∪[4，＋∞)．
[C级 拓展探究]
15．已知幂函数f(x)＝xeq \s\up6(eq \a\vs4\al(\f(1,m2＋m))) (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，eq \r(2))，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)∵m∈N*，
∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N*，
则f(x)＝eq \r(2k,x)，
∴f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
(2)由题意可得eq \r(2)＝2eq \s\up6(\f(1,2))＝2eq \s\up6(eq \a\vs4\al(\f(1,m2＋m)))，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，解得1≤ax
1
eq \f(1,2)
f(x)
1
eq \f(\r(2),2)