高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后测评，共7页。
1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度得到y＝f(x)的图象，则( )
A．f(x)＝cs 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cs 2x D．f(x)＝－sin 2x
解析：选A 依题意得f(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x.故选A.
2．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为( )
A．2 B.eq \f(1,2)
C．4 D.eq \f(1,4)
解析：选B 由题意可知得到图象的解析式为y＝cs eq \f(1,2)x，所以ω＝eq \f(1,2).
3．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，则最终所得函数图象对应的解析式为( )
A．y＝cseq \f(1,2)x B．y＝sin 2x
C．y＝sineq \f(1,2)x D．y＝cs 2x
解析：选D 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象，再将所得函数的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x的图象．
4．(2021·北京一零一中学高一月考)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数f(x)的图象，只需将函数g(x)＝sin ωx的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
解析：选A 由f(x)的最小正周期是π，得ω＝2，即f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))))，因此它的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度得到．故选A.
5．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))能构成“和谐”函数的是( )
A．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
B．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
C．f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))
D．f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋2
解析：选D 将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋2的图象，故选D.
6．将y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到的曲线对应的解析式为________．
解析：y＝sin 2x y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
答案：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))
7．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．
解析：A＝3>1，故将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．
答案：伸长 3
8．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))的值为________．
解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin 2x.将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x.
∵geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝Asin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)A＝eq \r(2)，∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x.∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(3π,8)))＝2sin eq \f(3π,4)＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
9．已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移eq \f(π,2)个单位，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f(x)的解析式．
解：y＝2sin x的图象
即f(x)＝－eq \f(1,2)cs 2x.
10．用“五点法”作出函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间．
解：①列表如下：
②描点．
③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图象．如图所示．函数的最小正周期T＝2π，最大值为5，最小值为1，
函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5,6)π，2kπ＋\f(11,6)π))，k∈Z，
增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))，k∈Z.
[B级 综合运用]
11．为了得到函数g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的图象，只需将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))图象上所有的点( )
A．横坐标缩短到原来的eq \f(2,3)
B．横坐标伸长到原来的eq \f(3,2)倍
C．横坐标缩短到原来的eq \f(2,3)，再向右平移eq \f(π,12)个单位长度
D．横坐标伸长到原来的eq \f(3,2)倍，再向右平移eq \f(π,12)个单位长度
解析：选A 由题可得f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故只需将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(2,3)，即可得到函数g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的图象．故选A.
12．(多选)已知曲线C1：y＝2sin x，C2：y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，则下列结论正确的是( )
A．把C1上所有的点向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)，得到曲线C2
B．把C1上所有的点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到曲线C2
解析：选BD 先平移变换后伸缩变换：先把C1上所有的点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到曲线C2，B选项正确．先伸缩变换后平移变换：C2：y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))，所以先将C1上各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin eq \f(x,3)的图象，再把所得图象上所有的点向左平移eq \f(π,2)个单位长度，即可得到C2，D选项正确．
13．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)；
②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
③图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度；
④图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度；
⑤图象向右平移eq \f(2π,3)个单位长度；
⑥图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图象，那么这两种变换正确的序号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的序号即可)
解析：y＝sin x的图象eq \(――→,\s\up7(④))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象eq \(――→,\s\up7(②))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象，或y＝sin x的图象eq \(――→,\s\up7(②))y＝sin eq \f(x,2)的图象eq \(――→,\s\up7(⑥))y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图象．
答案：④②或②⑥
14．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
解：(1)列表如下：
描点连线，图象如图所示．
(2)先将g(x)向右平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，即可得到f(x)的图象．
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω＞0.
(1)若y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
解：(1)因为ω＞0，
根据题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)))⇒0＜ω≤eq \f(3,4).
所以ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))).
(2)由f(x)＝2sin 2x可得，
g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＋1
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1，
g(x)＝0⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)⇒x＝kπ－eq \f(π,4)或x＝kπ－eq \f(7,12)π，k∈Z，
即g(x)的零点相离间隔依次为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×eq \f(2π,3)＋15×eq \f(π,3)＝eq \f(43π,3).
x
eq \f(π,3)
eq \f(5,6)π
eq \f(4,3)π
eq \f(11,6)π
eq \f(7,3)π
x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
y
3
5
3
1
3
2x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
eq \f(7π,6)
f(x)
0
1
0
－1
0