2021-2022学年湖北省宜昌伍家岗区四校联考中考数学模拟试题含解析

这是一份2021-2022学年湖北省宜昌伍家岗区四校联考中考数学模拟试题含解析，共20页。试卷主要包含了计算3×等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）

A． B． C． D．
3．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
4．对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
5．如图，若数轴上的点A，B分别与实数﹣1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
7．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交
AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①≌；②；③∠GDE=45°；④
DG=DE在以上4个结论中，正确的共有( )个

A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
8．在，，0，1这四个数中，最小的数是　　
A． B． C．0 D．1
9．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是( )

A．30° B．15° C．18° D．20°
10．计算3×（﹣5）的结果等于（　　）
A．﹣15 B．﹣8 C．8 D．15
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：_____．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=12，若以点A为圆心， AC为半径的弧交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径的弧交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积为__（保留根号和π）

13．若关于的不等式组无解， 则的取值范围是 ________.
14．观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
15．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为____________海里/时．
16．分式方程+=1的解为________.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）在大城市，很多上班族选择“低碳出行”，电动车和共享单车成为他们的代步工具．某人去距离家8千米的单位上班，骑共享单车虽然比骑电动车多用20分钟，但却能强身健体，已知他骑电动车的速度是骑共享单车的1.5倍，求骑共享单车从家到单位上班花费的时间．
18．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．

19．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　度；请补全条形统计图；若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
20．（8分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图：

（1）填空：样本中的总人数为 ；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？
21．（8分）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点．
求反比例函数的表达式；
若点C在反比例函数的图象上，点D在x轴上，当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标．

22．（10分）如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知 OA=6，OB=1．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0，2）， 点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 AC﹣CB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合 时停止运动，运动时间为 t 秒．
（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；
（2）如图②，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B′恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标．
（3）点 P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由．

23．（12分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
(1)求证：∠DAC=∠DCE；
(2)若AB=2，sin∠D=，求AE的长．

24．从广州去某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1．3倍．求普通列车的行驶路程；若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2．5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．



参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．
故轴对称图形有4个．
故选C．
考点：轴对称图形．
2、B
【解析】
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【详解】
综合主视图和俯视图，底层最少有个小立方体，第二层最少有个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是个．
故选：B．
【点睛】
此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形
3、A
【解析】
分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n.
详解：根据题意得: , 
计算得出:n=20, 
故选A.
点睛：根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
4、C
【解析】
判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可：
∵a=1，b=，c=，
∴．
∴此方程有两个不相等的实数根．故选C．
5、B
【解析】
由数轴上的点A、B 分别与实数﹣1，1对应，即可求得AB=2，再根据半径相等得到BC=2，由此即求得点C对应的实数．
【详解】
∵数轴上的点 A，B 分别与实数﹣1，1 对应，
∴AB=|1﹣（﹣1）|=2，
∴BC=AB=2，
∴与点 C 对应的实数是：1+2=3.
故选B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，熟记实数与数轴上的点是一一对应的关系是解决本题的关键．
6、B
【解析】
根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．
【详解】
∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，根据全等三角形性质可求得∠GDE==45〫，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断④是错误的．
【详解】由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
∵△ADG≌△FDG，△DCE≌△DFE，
∴∠ADG=∠FDG,∠FDE=∠CDE
∴∠GDE==45〫.③正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，④错误；
∴正确说法是①②③
故选：C
【点睛】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定的难度．
8、A
【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案．
【详解】由正数大于零，零大于负数，得
，
最小的数是，
故选A．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关键．
9、C
【解析】
∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．
【详解】
∵正五边形的内角的度数是×（5-2）×180°=108°，正方形的内角是90°，
∴∠1=108°-90°=18°．故选C
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．
10、A
【解析】
按照有理数的运算规则计算即可.
【详解】
原式=-3×5=-15，故选择A.
【点睛】
本题考查了有理数的运算，注意符号不要搞错.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：．
12、15π−18.
【解析】
根据扇形的面积公式：S=分别计算出S扇形ACE，S扇形BCD，并且求出三角形ABC的面积，最后由S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC即可得到答案．
【详解】
S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC，
∵S扇形ACE==12π，
S扇形BCD==3π，
S△ABC=×6×6=18，
∴S阴影部分=12π+3π−18=15π−18.
故答案为15π−18.
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形的面积公式.
13、
【解析】
首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得．
【详解】
，
解①得：x＞a+3，
解②得：x＜1．
根据题意得：a+3≥1，
解得：a≥-2．
故答案是：a≥-2．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤.．
14、
【解析】
试题解析：根据题意得，这一组数的第个数为：
故答案为
点睛：观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，写出第个数即可．
15、
【解析】
设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC＝3x，AQ⊥BC，∠BAQ＝60°，∠CAQ＝45°，AB＝80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC＝40＋40＝3x，解方程即可．
【详解】
如图所示：

该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB＝80海里，BC＝3x海里，
在直角三角形ABQ中,∠BAQ＝60°，
∴∠B＝90°−60°＝30°，
∴AQ＝AB＝40,BQ＝AQ＝40，
在直角三角形AQC中,∠CAQ＝45°，
∴CQ＝AQ＝40，
∴BC＝40＋40＝3x，
解得：x＝.
即该船行驶的速度为海里/时；
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形，熟练掌握方向角是解题的关键.
16、
【解析】
根据解分式方程的步骤，即可解答．
【详解】
方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解为，
故答案为．
【点睛】
考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根．

三、解答题（共8题，共72分）
17、骑共享单车从家到单位上班花费的时间是1分钟．
【解析】
试题分析：设骑共享单车从家到单位上班花费x分钟，找出题目中的等量关系，列出方程，求解即可.
试题解析：设骑共享单车从家到单位上班花费x分钟，
依题意得：
解得x=1．
经检验，x=1是原方程的解，且符合题意．
答：骑共享单车从家到单位上班花费的时间是1分钟．
18、（1）y=﹣x2+2x+3；（2）d=﹣t2+4t﹣3；（3）P（，）．
【解析】
（1）由抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A，可求得点A的坐标，又OA=OC，可求得点C的坐标，然后分别代入B,C的坐标求出a，b，即可求得二次函数的解析式；
（2）首先延长PE交x轴于点H，现将解析式换为顶点解析式求得D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，再将点C（3，0）、D（1，4）代入，得y=﹣2x+6，则E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，再根据d=PH﹣EH即可得答案；
（3）首先，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，根据题意在（2）的条件下先证明△DQT≌△ECH，再根据全等三角形的性质即可得ME=4﹣2（﹣2t+6），QM= t﹣1+（3﹣t），即可求得答案．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=3，
∴A（0，3）即OA=3，
∵OA=OC，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（3，0）
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，延长PE交x轴于点H，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
将点C（3，0）、D（1，4）代入，得： ，
解得：，
∴y=﹣2x+6，
∴E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），
∴PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，
∴d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3；
（3）如图2，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，

∵D（1，4），B（﹣1，0），C（3，0），
∴BK=2，KC=2，
∴DK垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠BDK=∠CDK，
∵∠BQE=∠QDE+∠DEQ，∠BQE+∠DEQ=90°，
∴∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90°，即2∠CDK+2∠DEQ=90°，
∴∠CDK+∠DEQ=45°，即∠RNE=45°，
∵ER⊥DK，
∴∠NER=45°，
∴∠MEQ=∠MQE=45°，
∴QM=ME，
∵DQ=CE，∠DTQ=∠EHC、∠QDT=∠CEH，
∴△DQT≌△ECH，
∴DT=EH，QT=CH，
∴ME=4﹣2（﹣2t+6），
QM=MT+QT=MT+CH=t﹣1+（3﹣t），
4﹣2（﹣2t+6）=t﹣1+（3﹣t），
解得：t=，
∴P（，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.
19、 (1) 60，90；(2)见解析;(3) 300人
【解析】
（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=90°；
故答案为60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣10=5；
补全条形统计图得：

（3）根据题意得：900×=300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.
20、（1）80，20，72；（2）16，补图见解析；（3）原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数．
【解析】
试题分析：（1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分比求出m，用360°乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解：
样本中的总人数为：36÷45%=80人；
开私家车的人数m=80×25%=20；
扇形统计图中“骑自行车”的圆心角为.
（2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可.
（3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解即可．
试题解析：解：（1）80，20，72.
（2）骑自行车的人数为：80×20%=16人，
补全统计图如图所示；

（3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，
由题意得，，解得x≥50.
答：原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数．
考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.频数、频率和总量的关系；4.一元一次不等式的应用．
21、（1）y= （1）（1，0）
【解析】
（1）将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后将点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值即可；
（1）根据平行四边形的性质得到BC∥AD且BD＝AD，结合图形与坐标的性质求得点D的坐标．
【详解】
解：（1）∵点M（a，4）在直线y=1x+1上，
∴4=1a+1，
解得a=1，
∴M（1，4），将其代入y=得到：k=xy=1×4=4，
∴反比例函数y=（x＞0）的表达式为y=；
（1）∵平面直角坐标系中，直线y=1x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴当x=0时，y=1．
当y=0时，x=﹣1，
∴B（0，1），A（﹣1，0）．
∵BC∥AD，
∴点C的纵坐标也等于1，且点C在反比例函数图象上，
将y=1代入y=，得1=，
解得x=1，
∴C（1，1）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD且BD=AD，
由B（0，1），C（1，1）两点的坐标知，BC∥AD．
又BC=1，
∴AD=1，
∵A（﹣1，0），点D在点A的右侧，
∴点D的坐标是（1，0）．
【点睛】
考查了反比例函数与一次函数交点问题．熟练掌握平行四边形的性质和函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键，难度适中．
22、（1）y=x+2；（2）y=x+2；（2）①S=﹣2t+16，②点P的坐标是（，1）；（3）存在，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，1﹣2）．
【解析】
分析：（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
②设P（m，1），则PB=PB′=m，根据勾股定理求出m的值，求出此时P坐标即可；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
详解：（1）如图1，

∵OA=6，OB=1，四边形OACB为长方形，
∴C（6，1）．
设此时直线DP解析式为y=kx+b，
把（0，2），C（6，1）分别代入，得
，解得
则此时直线DP解析式为y=x+2；
（2）①当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，S=6；
当点P在线段BC上时，OD=2，高为6+1﹣2t=16﹣2t，S=×2×（16﹣2t）=﹣2t+16；
②设P（m，1），则PB=PB′=m，如图2，

∵OB′=OB=1，OA=6，
∴AB′==8，
∴B′C=1﹣8=2，
∵PC=6﹣m，
∴m2=22+（6﹣m）2，解得m=
则此时点P的坐标是（，1）；
（3）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，

①当BD=BP1=OB﹣OD=1﹣2=8，
在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，
根据勾股定理得：CP1==2，
∴AP1=1﹣2，即P1（6，1﹣2）；
②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；
③当DB=DP3=8时，
在Rt△DEP3中，DE=6，
根据勾股定理得：P3E==2，
∴AP3=AE+EP3=2+2，即P3（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，1﹣2）．
点睛：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．
23、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；
（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．
【详解】
解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．
∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．
又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵AB=2，∴AO=1．
∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．
在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==．
∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴，即．
解得：DE=，∴AE=AD﹣DE=．
24、（1）520千米；（2）300千米/时．
【解析】
试题分析：（1）根据普通列车的行驶路程=高铁的行驶路程×1．3得出答案；（2）首先设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为2．5x千米/时，根据题意列出分式方程求出未知数x的值．
试题解析：（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1．3=520（千米）
（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为2．5x千米/时
依题意有：=3 解得：x=120
经检验：x=120分式方程的解且符合题意 高铁平均速度：2．5×120=300千米/时
答：高铁平均速度为 2．5×120=300千米/时．
考点：分式方程的应用．