2017年高考理科数学全国卷2含答案

这是一份2017年高考理科数学全国卷2含答案，共11页。试卷主要包含了若双曲线等内容，欢迎下载使用。
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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。姓名________________ 准考证号_____________
姓名________________ 准考证号_____________

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （　　）
A. B. C. D.
2.设集合，.若，则 （　　）
A. B. C. D.
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 （　　）
A.1盏 B.3盏
C.5盏 D.9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 （　　）
A. B.
C. D.
5.设，满足约束条件则的最小值是 （　　）
A. B. C.1 D.9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 （　　）
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则 （　　）
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的
（　　）
A.2
B.3
C.4
D.5
9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （　　）
A.2 B. C. D.
10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 （　　）
A. B. C. D.
11.若是函数的极值点，则的极小值为 （　　）
A. B. C. D.1
12.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是 （　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则　　　　.
14.函数的最大值是　　　　.
15.等差数列的前项和为，，，则　　　　.
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则　　　　.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
的内角，，的对边分别为，，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.











18.（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）.其频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法


新养殖法


（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828









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19.（12分）
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.
（1）证明：直线平面；
姓名________________ 准考证号_____________
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.




20.（12分）
设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.




21.（12分）
已知函数，且.
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.




（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.









23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知，，.证明：
（1）；
（2）.









2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：，故选D.
名师点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除.除法实际上是分母实数化的过程.在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若，互为共轭复数，则，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化.
【考点】复数的除法
2.【答案】C
【解析】试题分析：由得，即是方程的根，所以，，，故选C．
名师点睛：集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．
【考点】交集运算，元素与集合的关系
3.【答案】B
【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B.
名师点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论.
【考点】等比数列的应用，等比数列的求和公式
4.【答案】B
【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．
名师点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
【考点】三视图，组合体的体积
5.【答案】A
【解析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，，故选A.

名师点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
【考点】应用线性规划求最值
6.【答案】D
【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种．故选D．
名师点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．
（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
【考点】排列与组合，分步乘法计数原理
7.【答案】D
【解析】试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.
名师点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）
【考点】合情推理
8.【答案】B
【解析】试题分析：阅读程序框图，初始化数值，，.
循环结果执行如下：
第一次：，，；
第二次：，，；
第三次：，，；
第四次：，，；
第五次：，，；
第六次：，，.
结束循环，输出.故选B.
名师点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：①要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；②要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；③按照题目的要求完成解答并验证.
【考点】程序框图
9.【答案】A
【解析】试题分析：由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
名师点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）．
【考点】双曲线的离心率，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
10.【答案】C
【解析】试题分析：如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，，，，
易得，因此，故选C.

名师点睛：平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.
【考点】异面直线所成的角，余弦定理，补形的应用
11.【答案】A
【解析】试题分析：由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
名师点睛：（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不相同；（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
【考点】函数的极值，函数的单调性
12.【答案】B
【解析】试题分析：如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求最小值为，故选B.

【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值
二、填空题
13.【答案】1.96
【解析】试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．
【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为次独立重复试验，在每次试验中事件发生的概率是否均为；②随机变量是否为在这次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事件恰好发生次的概率．
【考点】二项分布的期望与方差
14.【答案】1
【解析】试题分析：化简三角函数的解析式，则

由可得，当时，函数取得最大值1.
名师点睛：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析.
【考点】三角变换，复合型二次函数的最值
15.【答案】
【解析】试题分析：设等差数列的首项为，公差为，由题意有解得
数列的前项和，
裂项可得，
所以.
名师点睛：等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，，，，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法.使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.
【考点】等差数列前项和公式，裂项求和.
16.【答案】6
【解析】试题分析：如图所示，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．

【考点】抛物线的定义，梯形中位线在解析几何中的应用．
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
三、解答题
17.【答案】（1）；
（2）．
【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合即可求出；
（2）利用（1）中结论，结合三角形面积公式可求出的值，根据，进而利用余弦定理可求出的值.
试题解析：（1）由题设及，可得，故.
上式两边平方，整理得，解得（舍去），.
（2）由得，故.
又，则.由余弦定理及得：
，
所以.
【考点】余弦定理，三角形面积公式
【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正余弦定理、三角形面积公式等知识进行求解.解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意，，三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．
18.【答案】（1）0.4092；
（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）52.35 kg．
【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件的概率估计值；
（2）写出列联表计算的观测值，即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）结合频率分布直方图估计中位数为52.35 kg.
试题解析：（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”，由题意知，
旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为，
故的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为，
故的估计值为0.66.
因此，事件的概率估计值为.
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：

箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
的观测值.
由于，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为，
箱产量低于55 kg的直方图面积为，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为.
名师点睛：（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．
（2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
【考点】独立事件概率公式，独立性检验原理，频率分布直方图估计中位数
19.【答案】（1）证明：取的中点，连结，.
因为是的中点，所以，，由得,
又，所以，四边形是平行四边形，.
又平面,平面，故平面.
（2）由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
设，则，，
因为与底面所成的角为45°，而是底面的法向量，
所以，，即.①
又在棱上，设，则，，.②
由①②解得，（舍去），
所以，从而.
设是平面的法向量，则即
所以可取.于是，
因此二面角的余弦值为.
【解析】试题分析：（1）取的中点，连结，,由题意证得，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，
然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为.
名师点睛：（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．
（2）设，分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
【考点】判定线面平行，面面角的向量求法
20.【答案】（1）设，，则，，.
由得，.
因为在上，所以.
因此点的轨迹方程为.
（2）由题意知.设，，
则，，，，，.
由得，又由（1）知，故.
所以，即.又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点.
【解析】试题分析：（1）设出点、的坐标，利用得到点与点坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；
（2）利用可得坐标之间的关系：，结合（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出结论.
名师点睛：求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立，之间的关系．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入（相关点）法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．
【考点】轨迹方程的求解，直线过定点问题
21.【答案】（1）的定义域为.
设，则，等价于.
因为，，故，而，，得.
若，则.当时，，单调递咸；
当时，，单调递增.所以是的极小值点，故.
综上，.
（2）由（1）知，．
设，则．
当 时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，
且当时，；当时，，当时，．
因为，所以是的唯一极大值点．
由得，故．
由得．
因为是在的最大值点，
由，得．
所以．
【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；
（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立.
名师点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
22.【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）设出的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程；
（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值.
试题解析：（1）设的极坐标为，的极坐标为.
由题设知，.
由得的极坐标方程为，
因此的直角坐标方程为.
（2）设点的极坐标为，由题设知，，
于是的面积.
当时，取得最大值，所以面积的最大值为.
名师点睛：本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．
【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程，三角形面积的最值
23.【答案】（1）
（2）因为
所以，因此.
【解析】（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；
（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论.
名师点睛：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法.
【考点】基本不等式，配方法