2022湖北省石首市高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022湖北省石首市高二下学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了函数，的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
石首市2021——2022学年度下学期期中考试高中二年级数学试题考试时间：120分钟    值分 :150分注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡，答题前请先将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡上对应的位置。2．选择题的答案请用 2B 铅笔以正确的填涂方式填写在答题卡上对应的位置，非选择题请将答案填写在相应的答题栏内，写在试题卷上的答案无效。一、单选题（每小题5分，共8小题40分）1．已知函数可导，且，（）A．－3 B． 0 C． 3 D． 62．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A．360种 B．480种 C．600种 D．720种3．已知函数的导函数为，且满足，则曲线在处的切线方程是（）A． B．
C． D．4．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为（）A．0.5m B．0.7m C．1m D．1.5m5．正方体六个面上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种．A．420 B．600 C．720 D．7806．函数，的图象大致为（）A． B．C． D．7．已知，展开式中x的系数为，则等于（）A． B． C． D．8．定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则关于的不等式的解集为（）A．   B． C．  D．二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共4小题20分）9．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A． B．
C． D．10．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（）A．展开式共有7项     B．所有二项式系数和为128C．二项式系数最大的项是第4项  D．展开式的有理项共有4项11．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（）A．第2行第2个数是B．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值C．（，）D．（，）12．已知函数有两个零点，，则（）A．a的取值范围为    B．
C．      D．三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．已知某质点的位移S与移动时间t满足，则质点在t＝2的瞬时速度是__________．14．在的展开式中，含项的系数为__________（结果用数值表示）．15．3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是__________（结果用数字表示）．16．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”．设函数与在上是“密切函数”，则实数t的取值范围是__________．四、解答题（共6小题70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法;（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法;（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法;（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法?18．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间;（2）经过点作函数图象的切线，求该切线的方程．19．（12分）在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．（1）求n的值;（2）求展开式中所有的有理项;（3）求展开式中系数最大的项．20．（12分）已知函数．（1）讨论的极值．（2）当时，若无最小值，求实数a的取值范围．21．（12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x（单位:万元）满足：（且为常数），且曲线与直线在点相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点．（1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式;（2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元．问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?（结果保留3位小数，参考数据:，，，，）
22．（12分）已知函数，为的导数．（1）证明:当时，．（2）设，证明：有且仅有2个零点． 2021~2022学年度下学期高二数学参考答案及评分标准一、单选题 1．D  2．C  3．C  4．C  5．D  6．C  7．A  8．B二、多选题 9．BC  10．BD  11．AC  12．BCD三、填空题 13．8   14．12   15．432   16．第12题：【答案】B，C，D【解析】，因为，所以当时，，单调递增，函数至多有一个零点; 当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为:，当时，，所以函数至多有一个零点; 当时，，而，当时，，当时，，所以函数在，内各有一个零点，所以，因此选项A不正确; 选项B:因为，所以，因此本选项正确; 选项C:因为，当时，，所以，因此，构造新函数，，因为，所以，单调递减，因此当时，，又因为，所以，而，因此，所以本选项正确; 选项D:，令，显然有，令，，显然，因此有:，设，所以有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为，所以，令，即，因为，所以，单调递增，因为，所以，而，所以，因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，所以本选项说法正确，故选：BCD．
第16题：【答案】【解析】因为函数与在上是“密切函数”，则即对于恒成立，所以，即对于恒成立，令，则，当时，;当时，; 所以，，，所以，所以，可得，所以实数t的取值范围是:．故答案为:
 四、解答题17【解】：（1）每个小球有4种方法，共有种放法;     2分（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法;                                               5分（3）9个空中插入3个板即可，种放法;                                    7分（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法．        10分
 18【解】：(1)  ，故，       1分取，则，                                   2分故函数的单调递减是;单调递增是．                        6分(2)  设切点为，则                               7分，解得，                                                          11分故切线方程为，即．                                        12分
 19【解】：(1)  由题意知:，                              1分则第4项的系数为，倒数第4项的系数为，则有即，∴． 3分(2)  由（1）可得，当时所有的有理项为，，，4分即，，，8分(3)  设展开式中第项的系数最大，则，                                     10分                                                             11分∴，故系数最大项为．                                12分20【解】：(1)  因为，所以．     1分令，得或．                                                 2分①当时，由，得;由，得．则在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，没有极大值                                           4分②当时，由，得或;由，得．则在上单调递减，在和上单调递增，函数有极大值，极小值．                              6分③当时，恒成立，则在上单调递增，函数无极值．                                     7分④当时，由，得或;由，得．则在上单调递减，在和上单调递增，函数有极大值，极小值综上，当时，函数有极小值，无极大值当时，函数有极大值，极小值;当时，函数无极值；当时，函数有极大值，极小值                  9分（2）①当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，则有最小值，故不符合题意．                           10分②当时，由（1）可知在上单调递减，在和上单调递增，因为无最小值，所以，即，解得;        11分③当时，由（1）可知在上单调递增，所以无最小值，所以符合题意;综上，实数a的取值范围为．                                          12分21【解】：(1)  函数的定义域为且，因为点在直线上，故有                                  1分又曲线与直线在点处相切，故有，得，                                       3分则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为．       4分由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为:，将点代入上式，可得，                                         5分所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为;              6分(2)  设甲产品投资x万元，则乙产品投资万元，且，则公司所得利润为，                                7分故有，                                                   8分令，解得，令，解得，所以为函数的极大值点，也是函数的最大值点                          10分万元．所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司获得最大利润为21.124万元．                                         12分

22【解】：（1）证法1:当时，要证，只要证．  1分设，则，                                       3分所以在上单调递减，;所以，当时，．                                           5分证法2:，                                       1分设，，当时，可证:，，当时，设，，则，，，单调递增，，，所以，，，所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增．所以．                                                 5分证法3:①当，即时，;           1分②当时，要证，只要证，即，易知，当时，单调递增，而单调递减，所以．当时，，而，所以．综上所述，当时，．                                         5分（1）证：，，                                      6分①由（1）知，当时，，在上单调递增，且，，所以在上有且仅有1个零点．                                    7分②当时，可证，在上单调递减，证明如下:欲证，只要证，设，则，            8分所以在上单调递减，得，故，得在上单调递减，                                  10分且，，所以在上有且仅有1个零点．                                   11分综上所述，有且仅有2个零点．                                        12分注:第（2）问中，关于“②当，可证，在上单调递减”，其证明过程也可以如下:由，讨论: ①时，;②当时，单调递增，则．当时，，即在上单调递减．