河南省郑州市高新区枫杨外国语中学2022年中考数学一调试卷(word版含答案)

这是一份河南省郑州市高新区枫杨外国语中学2022年中考数学一调试卷(word版含答案)，共34页。试卷主要包含了﹣3的相反数是等内容，欢迎下载使用。
河南省郑州市高新区枫杨外国语中学2022年中考数学一调试卷（解析版）
一.选择题（共10小题，共30分）
1．﹣3的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．据省政府新闻办公布的河南省第七次全国人口普查主要数据情况，河南省常住人口9936.6万人，占全国人口的7.04%，位居全国第三．将9936.6万用科学记数法表示为（　　）
A．9.9366×106 B．9.9366×107 C．9.9366×108 D．9.9366×109
3．如图是由5个小立方块搭成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图是（　　）

A． B．
C． D．
4．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（　　）

A．45° B．50° C．55° D．40°
5．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予权之比为6：4．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（　　）
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩
（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞﹣1时，y＜﹣3
C．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
7．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（　　）
A．x+x（1+x）＝100 B．1+x+x2＝100
C．1+x+x（1+x）＝100 D．x（1+x）＝100
8．一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F，作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N、则MN的长是（　　）

A．2.4 B． C．2.5 D．3
10．如图，在直角坐标系xoy中，已知A（0，1），B（，0），以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上．若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（　　）

A． B．
C． D．
二.填空题（共5小题，共15分）
11．不等式﹣2x+6＞0的解集是　 　．
12．请你写出一个与y轴交于点（0，2）的直线表达式　 　．
13．小张、小王和小李三人相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动，现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们三人恰好进入同一社区的概率是 　 　．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝4，点C是上一动点，连接OC，过点A作AD⊥OC于点D，连接BD．当BD的长度最小时，图中阴影部分的面积为 　 　．

15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为　 　．

三.解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）2021年7月，河南省郑州市连遭暴雨袭击引发社会关注．全国人民万众一心，防汛救灾．各级政府、各大新闻媒体都加大了对防汛知识的宣传．某校为了了解初三年级共3000名同学对防汛知识的掌握情况，对他们进行了防汛知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
[收集数据]：甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93．
[整理数据]：
班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
[分析数据]：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
[应用数据]：
（1）根据以上信息，可以求出：a＝　 　分，b＝　 　分；
（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀．请估计初三年级参加防汛知识测试的学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防汛测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
18．（9分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，4），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边OC上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．

19．（9分）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①若DF＝AP，当∠DAE＝　 　时，四边形ADFP是菱形；
②若BF⊥DF，当∠DAE＝　 　时，四边形BFDP是正方形．

21．（9分）由于新冠疫情，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
型号
价格（元/只）
种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售收入﹣投入总成本）
22．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象经过（0，0），（4，0）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣4≤y≤﹣3，求n的取值范围；
（3）若直线AB经过A（﹣2，﹣4），B（2，m）两点，当0≤x＜5时，二次函数的图象与直线AB只有1个公共点，求出m的取值范围．
23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 　 　，
CE与AD的位置关系是 　 　；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝，BE＝，求四边形ADPE的面积．

2022年河南省郑州市高新区枫杨外国语中学中考数学一调试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，共30分）
1．﹣3的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．据省政府新闻办公布的河南省第七次全国人口普查主要数据情况，河南省常住人口9936.6万人，占全国人口的7.04%，位居全国第三．将9936.6万用科学记数法表示为（　　）
A．9.9366×106 B．9.9366×107 C．9.9366×108 D．9.9366×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9936.6万＝99366000＝9.9366×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图是由5个小立方块搭成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据简单组合体的左视图的意义和画法画出相应的图形即可．
【解答】解：这个组合体的左视图为：

故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
4．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（　　）

A．45° B．50° C．55° D．40°
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：由题意得，∠4＝60°，
∵∠2＝70°，AB∥CD，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予权之比为6：4．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（　　）
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩
（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据表格中的数据，可以计算甲乙丙丁的成绩，然后比较大小即可．
【解答】解：由题意可得，
甲的成绩为：＝87.6（分），
乙的成绩为：＝88.4（分），
丙的成绩为：＝87.2（分），
丁的成绩为：＝86.6（分），
∵86.6＜87.2＜87.6＜88.4，
∴乙将被录取，
故选：B．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法，求出甲乙丙丁的成绩．
6．关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞﹣1时，y＜﹣3
C．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝，k＝3，
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项A正确；
当﹣1＜x＜0时，y＜﹣3，当x＞0时，y＞0，故选项B错误；
当x＞0时，y的值随x的增大而减小，故选项C正确；
若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上，故选项D正确；
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（　　）
A．x+x（1+x）＝100 B．1+x+x2＝100
C．1+x+x（1+x）＝100 D．x（1+x）＝100
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后有100人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x（1+x）人被传染．
依题意得：1+x+x（1+x）＝100．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程4x2﹣2x+＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×4×（）＝0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+＝0有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F，作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N、则MN的长是（　　）

A．2.4 B． C．2.5 D．3
【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN＝BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
【解答】解：如图，连接DN，

在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，
∴BD＝＝2，
根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，
∴DN＝BN，OB＝OD＝，
∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝4﹣DN，
在Rt△ADN中，根据勾股定理，得
DN2＝AN2+AD2，
∴DN2＝（4﹣DN）2+22，
解得DN＝，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得
ON＝＝，
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO，
∠DMO＝∠BNO，
∵OD＝OB，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON＝，
∴MN＝．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
10．如图，在直角坐标系xoy中，已知A（0，1），B（，0），以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上．若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据点A、B的坐标求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，再求出菱形的高，以及菱形沿y轴方向滑落的速度和x轴方向滑落的速度，再分①点A在x轴上方时，利用三角形的面积公式表示出s与t的函数关系式，②点A在x轴下方，点C在x轴上方时，利用梯形的面积公式表示出s与t的函数关系式，③点C在x轴下方时，利用菱形ABCD的面积减去x轴上方部分的三角形的面积，列式整理得到s与t的函数关系式，从而判断出函数图象而得解．
【解答】解：∵A（0，1），B（，0），
∴OA＝1，OB＝，
∴AB＝＝＝2，
∵tan∠BAO＝＝＝，
∴∠BAO＝60°，
∴菱形ABCD的高为2×＝，
∵菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，
∴菱形沿y轴方向滑落的速度为1，
沿x轴方向滑落的速度，
①点A在x轴上方时，落在x轴下方部分是三角形，
面积S＝•t•t＝t2，
②点A在x轴下方，点C在x轴上方时，落在x轴下方部分是梯形，
面积S＝[t+（t﹣1）•1]×＝t﹣，
③点C在x轴下方时，
x轴下方部分为菱形的面积减去x轴上方部分的三角形的面积，
S＝2×﹣（3﹣t）•（6﹣2t）＝2﹣（3﹣t）2，
纵观各选项，只有A选项图形符合．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，分三段得到x轴下方部分的图形并求出相应的函数关系式是解题的关键．
二.填空题（共5小题，共15分）
11．不等式﹣2x+6＞0的解集是　x＜3　．
【分析】不等式移项，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜3，
故答案为x＜3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，注意不等式两边除以负数时，不等号要改变方向．
12．请你写出一个与y轴交于点（0，2）的直线表达式　y＝x+2　．
【分析】由一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴交于点（0，2）得到b＝2，然后写出满足这一条件的一次函数解析式即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴交于点（0，2），
∴b＝2，
∵k可取不为0的任意数，
∴满足条件的解析式可为y＝x+2．
故答案为y＝x+2．
【点评】本题考查了一次函数的性质：一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
13．小张、小王和小李三人相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动，现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们三人恰好进入同一社区的概率是 　　．
【分析】画树状图展示所有27种等可能的结果数，找出三人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：

共有27种等可能的情况数，其中他们三人恰好进入同一社区的有3种，
则他们三人恰好进入同一社区的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝4，点C是上一动点，连接OC，过点A作AD⊥OC于点D，连接BD．当BD的长度最小时，图中阴影部分的面积为 　4π﹣4﹣　．

【分析】如图，取AO的中点T，连接DT，BT．首先说明T，D，B共线时，BD的值最小，再根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOD﹣S△OBD，求解即可．
【解答】解：如图，取AO的中点T，连接DT，BT．

∵AD⊥OC，
∴∠ADO＝90°，
∵AT＝OT＝2，
∴DT＝2，
∵∠BOT＝90°，OB＝4，OT＝2，
∴BT＝＝＝2，
∵BD≥BT﹣DT＝2﹣2，
∴当T，D，B共线时，BD的值最小，最小值为2﹣2，
如图，过点D作DH⊥OB于点H．

∵DH∥OT，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝4﹣，DH＝2﹣，
∴OH＝，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOD﹣S△OBD
＝﹣×4×﹣×4×（2﹣）
＝4π﹣4﹣，
故答案为：4π﹣4﹣．
【点评】本题考查扇形的面积，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为　或1　．

【分析】分两种情况进行讨论：当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形，

由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，
∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上，
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF＝CD＝4，
设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，
在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，
解得x＝，即AP＝；

如图所示，当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，

过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝∠D＝90°，
又∵∠FEQ+∠CED＝90°＝∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ＝∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴＝＝，即＝＝，
解得FQ＝，QE＝，
∴AQ＝HF＝，AH＝，
设AP＝FP＝x，则HP＝﹣x，
∵Rt△PFH中，HP2+HF2＝PF2，即（﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝1，即AP＝1．
综上所述，AP的长为1或．
【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先算零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂，再算加减即可；
（2）先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
【解答】解：（1）
＝1﹣4+4
＝1；
（2）
＝（）
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
17．（9分）2021年7月，河南省郑州市连遭暴雨袭击引发社会关注．全国人民万众一心，防汛救灾．各级政府、各大新闻媒体都加大了对防汛知识的宣传．某校为了了解初三年级共3000名同学对防汛知识的掌握情况，对他们进行了防汛知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
[收集数据]：甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93．
[整理数据]：
班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
[分析数据]：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
[应用数据]：
（1）根据以上信息，可以求出：a＝　100　分，b＝　91　分；
（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀．请估计初三年级参加防汛知识测试的学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防汛测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得；
（3）比较甲、乙两班的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵甲班15名学生测试成绩100出现次数最多，
∴甲班的众数是100分，则a＝100；
乙班15名学生测试成绩按从小到大排列，则中位数是第8个数，
即中位数出现在90≤x＜95这一组中，故b＝91（分）；
故答案为：100，91；
（2）根据题意得：
3000×＝1600（人），
答：480名学生中成绩为优秀的学生共有1600人；
（3）甲班的学生环保知识测试的整体成绩较好，理由如下：
∵甲班方差＜乙班方差，即41.7＜50.2，甲班的平均分＞乙班的平均分，
∴甲班的学生环保知识测试的整体成绩较好．
【点评】本题考查了频数（率）分布表，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．
18．（9分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，4），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边OC上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．

【分析】（1）由条件可先求得点D的坐标，代入反比例函数可求得k的值，又由点E的位置可求得E点的横坐标，代入可求得E点坐标；
（2）由相似三角形的性质可求得CF的长，可求得OF，则可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线FB的解析式．
【解答】解：（1）在矩形OABC中，
∵B（2，4），
∴BC边中点D的坐标为（1，4），
∵又曲线y＝的图象经过点（1，4），
∴k＝4，
∵E点在AB上，
∴E点的横坐标为2，
∵y＝经过点E，
∴E点纵坐标为2，
∴E点坐标为（2，2）；
（2）由（1）得，BD＝1，BE＝2，BC＝2，
∵△FBC∽△DEB，
∴，即，
∴CF＝1，
∴OF＝3，即点F的坐标为（0，3），
设直线FB的解析式为y＝kx+b，而直线FB经过B（2，4），F（0，3），
∴，
解得，
∴直线BF的解析式为y＝x+3．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，考查了矩形的性质，待定系数法，相似三角形的性质等知识．在（1）中求得E点的坐标是解题的关键，在（2）中求得F点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度不大．
19．（9分）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据＝，求出CM，在Rt△AMN中利用tan72°＝，求出AN即可解决问题．
【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．
由题意＝，即＝，CM＝（米），
在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4，∠AMN＝72°，
∴tan72°＝，
∴AN≈12.32（米），
∵MN∥BC，AB∥CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN＝CM＝（米），
∴AB＝AN+BN＝12.32+1.5≈13.8（米）．

【点评】本题考查解直角三角形、三角函数，影长等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①若DF＝AP，当∠DAE＝　67.5°　时，四边形ADFP是菱形；
②若BF⊥DF，当∠DAE＝　90°　时，四边形BFDP是正方形．

【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．
【解答】解：（1）如图，OD连接，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
∵∠AED＝45°，
∴∠AOD＝2∠AED＝90°，即∠ODF＝∠AOD，
∴CD∥AB．

（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，
∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，
∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，
∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，
∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PAG＝22.5°，
∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，
故答案为：67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF＝FD＝DP＝PB，
∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD＝90°，
故答案为：90°．


【点评】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．
21．（9分）由于新冠疫情，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
型号
价格（元/只）
种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售收入﹣投入总成本）
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设甲、乙两种型号的产品分别是a万只，b万只，
，解得，
答：甲、乙两种型号的产品分别是10万只、10万只；
（2）设利润为w元，生产甲种产品x万只，则生产乙种产品（20﹣x）万只，
w＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.8）×（20﹣x）＝1.8x+64，
∵公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，
∴（12+1）x+（8+0.8）×（20﹣x）≤239，
解得，x≤15，
∵k＝1.8，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝91，20﹣x＝15，
答：当安排生产甲种产品15万只、乙种产品5万只时，可使该月公司所获利润最大，最大利润是91万元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象经过（0，0），（4，0）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣4≤y≤﹣3，求n的取值范围；
（3）若直线AB经过A（﹣2，﹣4），B（2，m）两点，当0≤x＜5时，二次函数的图象与直线AB只有1个公共点，求出m的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得二次函数解析式；
（2）运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，得出抛物线对称轴和顶点坐标，令y＝﹣3，求得对应的x的值，再结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）分三种情况：①当直线AB与x轴平行时，直线AB与抛物线只有1个公共点，此时点B与抛物线的顶点重合，②当直线AB经过点C（5，5）时，直线AB与抛物线只有1个公共点，如图1，③当直线AB经过点O（0，0）时，直线AB与抛物线只有1个公共点，如图2，分别求出m的值，再结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象经过（0，0），（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣4），
∵﹣4≤y≤﹣3，
∴令y＝﹣3，得x2﹣4x＝﹣3，
解得：x＝1或x＝3，
∴根据二次函数的图象和性质，当﹣4≤y≤﹣3时，1≤x≤3，
又∵当n≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣4≤y≤﹣3，
∴n的取值范围为1≤n≤2；
（3）由题意知，点B在抛物线的对称轴直线x＝2上，
在y＝x2﹣4x中，令x＝5，得y＝52﹣4×5＝5，
∴C（5，5），
①当直线AB与x轴平行时，直线AB与抛物线只有1个公共点，此时点B与抛物线的顶点重合，
故此时m＝﹣4；
②当直线AB经过点C（5，5）时，直线AB与抛物线只有1个公共点，如图1，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣2，﹣4），C（5，5）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
令x＝2，得y＝×2﹣＝，
∴此时，点B（2，），
故此时m＝；
③当直线AB经过点O（0，0）时，直线AB与抛物线只有1个公共点，如图2，
设直线AB的解析式为y＝k′x，将A（﹣2，﹣4）代入得：﹣4＝﹣2k′，
解得：k′＝2，
∴直线AB的解析式为y＝2x，
∴m＝2×2＝4，
∴此时，点B（2，4），
故此时m＝4；
由②③，可知当≤m≤4时，抛物线与直线AB只有一个公共点．
综上所述，m的取值范围是m＝﹣4或≤m≤4．


【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 　BP＝CE　，
CE与AD的位置关系是 　CE⊥AD　；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝，BE＝，求四边形ADPE的面积．
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；
（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；
（3）连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长，可求得△APD和△APE的面积，进而求得四边形ADPE的面积．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CHD＝∠BCE＝90°，
∴CE⊥AD．
故答案为：BP＝CE，CE⊥AD，
（2）成立．
证明：如图3，连接AC，设CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°+∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AHE＝∠BCE＝90°，
∴CE⊥AD．
（3）如图4，连接AC交BD于点O，作EF⊥AP于点F，则AC⊥BD，
∵AC＝AB＝，
∴AO＝AC＝；
∵∠BCE＝90°，BC＝AB＝，BE＝，
∴CE＝＝＝4，
∴BP＝CE＝4；
∵∠AOB＝∠AOP＝90°，
∴DO＝BO＝＝＝，
∴PO＝BP﹣BO＝4﹣＝，PD＝BP﹣DO﹣BO＝4﹣﹣＝1，
∴AP＝＝＝，
∴PE＝AP＝，PF＝AP＝，
∵∠PFE＝90°，
∴EF＝＝＝，
∴S四边形ADPE＝S△APD+S△APE＝×1×+××＝2，
∴四边形ADPE的面积为2．




【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及用转化法求图形的面积等知识点与方法，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．