2017年北京市中考数学试卷含答案

这是一份2017年北京市中考数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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绝密★启用前
北京市2017年高级中等学校招生考试
毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
数学
（本试卷满分120分,考试时间120分钟）
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图所示,点到直线的距离是 (　　)

A.线段的长度 B.线段的长度
C.线段的长度 D.线段的长度
2.若代数式有意义,则实数的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
3.如图是某个几何体的展开图,该几何体是 (　　)

A.三棱柱 B.圆锥 C.四棱柱 D.圆柱
4.实数,,,在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是 (　　)

A. B.
C. D.
5.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 (　　)




A
B
C
D
6.若正多边形的一个内角是,则该正多边形的边数是 (　　)
A. B. C. D.
7.如果,那么代数式的值是 (　　)
A. B. C. D.
8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.
2011年—2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图

(以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》)
根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是 (　　)
A.与2015年相比,2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
B.2011—2016年,我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C.2011—2016年,我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过亿美元
D.2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9.小苏和小林在如图所示的跑道上进行米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离(单位：)与跑步时间(单位：)的对应关系如图所示.下列叙述正确的是 (　　)


A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C.小苏前跑过的路程大于小林前跑过的路程
D.小林在跑最后的过程中,与小苏相遇2次
10.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.

下面有三个推断：
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是；
②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是；
③若再次用计算机模拟实验,则当投掷次数为时,“针尖向上”的频率一定是.
其中合理的是 (　　)
A.① B.② C.①② D.①③
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)
11.写出一个比3大且比4小的无理数：　　　　.
12.某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元,足球的单价为元,依题意,可列方程组为　　　　.
13.如图,在中,,分别为,的中点,若,则　　　　.
14.如图,为的直径,,为上的点,.若,则　　　　.

15.如图,在平面直角坐标系中,可以看作是经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由得到的过程：　　　　.

16.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程.

请回答：该尺规作图的依据是　　　　.
三、解答题(本大题共13小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分5分)
计算：.



-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
18.(本小题满分5分)
解不等式组：




毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
19.(本小题满分5分)
如图,在中,,,平分交于点.求证：.





20.(本小题满分3分)
数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.

(以上材料来源于《古证复原的原则》《吴文俊与中国数学》和《古世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程.
证明：,(　　　　　　　　).
易知,,　　　　　　　　,　　　　　　　　.
可得.
21.(本小题满分5分)
关于的一元二次方程.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1,求的取值范围.

22.(本小题满分5分)
如图,在四边形中,为一条对角线,,,,为的中点,连接.
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接,若平分,,求的长.




23.(本小题满分5分)
如图,在平面直角坐标系中,函数的图线与直线交于点.
(1)求,的值；
(2)已知点,过点作平行于轴的直线,交直线于点,过点作平行于轴的直线,交函数的图象于点.
①当时,判断线段与的数量关系,并说明理由；
②若,结合函数的图象,直接写出的取值范围.


24.(本小题满分5分)
如图,是的一条弦,是的中点,过点作于点,过点作的切线交的延长线于点.
(1)求证：；
(2)若,,求的半径.



25.(本小题满分6分)
某工厂甲、乙两个部门各有员工400人,为了解这两个部门员工的生产技能情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.
收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试,测试成绩(百分制)如下：
甲78867481757687707590
75798170748086698377
乙93738881728194837783
80817081737882807040
整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩
人数
部门












甲
0
0
1
11
7
1
乙






(说明：成绩80分及以上为生产技能优秀,70～79分为生产技能良好,60～69分为生产技能合格,60分以下为生产技能不合格)
分析数据两组样本数据的的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门
平均数
中位数
众数
甲



乙



得出结论.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　　　　；
.可以推断出　　　　部门员工的生产技能水平较高,理由为　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
26.(本小题满分6分)
如图,是所对弦上的一动点,过点作交于点,连接,过点作于点.已知,设,两点间的距离为,,两点间的距离为.(当点与点或点重合时,的值为0)
小东根据学习函数的经验,对函数随自变量的变化而变化的规律进行了如下探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量,得到了与的几组值,如下表：

0
1
2
3
4
5
6

0





0
(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象,解决问题：当为等腰三角形时,的长度约为　　
　　　　.
27.(本小题满分7分)
在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,(点在点的左侧),与轴交于点.
(1)求直线的表达式；
(2)垂直于轴的直线与抛物线交于点,,与直线交于点.若,结合函数的图象,求的取值范围.


28.(本小题满分7分)
在等腰直角中,,是线段上一动点(与点,不重合),连接,延长至点,使得,过点作于点,交于点.
(1)若,求的大小(用含的式子表示)；
(2)用等式表示线段与之间的数量关系,并证明.


29.(本小题满分8分)
对于直角坐标系中的点和图形,给出如下定义：若在图形上存在一点,使得,两点间的距离小于或等于1,则称为图形的关联点.
(1)当的半径为2时,
①在点,,中,的关联点是　　　　；
②点在直线上,若为的关联点,求点的横坐标的取值范围；
(2)的圆心在轴上,半径为2,直线与轴、轴分别交于点,.若线段上的所有点都是的关联点,直接写出圆心的横坐标的取值范围.
北京市2017年高级中等学校招生考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】由题意，得点到直线的距离是线段的长度，故选：B。
【考点】点到直线的距离的概念
2.【答案】D
【解析】由意义可知：，∴，故选：D。
【考点】分式有意义的条件
3.【答案】A
【解析】观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故选：A。
【考点】几何体的展开与折叠
4.【答案】C
【解析】由数轴上点的位置，得；A．，故A不符合题意；B．，故B不符合题意；C．，故C符合题意；D．，故D不符合题意；故选：C。
【考点】数轴上点的特征
5.【答案】A
【解析】A．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，故选A。
【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念
6.【答案】B
【解析】设多边形边形，由题意，得，解得，故选：B。
【考点】正多边形的内角和定理
7.【答案】C
【解析】。
∵，∴，∴原式，故选C。
【考点】分式的化简求值
8.【答案】B
【解析】A．由折线统计图可得：与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；
B．由折线统计图可得：年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，故此选项错误，符合题意；C．年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：

故超过4200亿美元，正确，不合题意；
D．∵，∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多。
故选：B。
【考点】从统计图获取信息解决问题，数的估算
9.【答案】D
【解析】由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；根据图象小苏前跑过的路程小于小林前跑过的路程，故C错误；小林在跑最后的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D正确；故选：D。
【考点】函数图像的应用
10.【答案】B
【解析】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的可能性是：，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，故选B。
【考点】用试验估计概率
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】略
【解析】写出一个比3大且比4小的无理数，如π，也可以用开平方的方法来确定，即二次根式中被开方数比9大而比16小即可，如等。
【考点】无理数的概念，实数的大小比较
12.【答案】
【解析】设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：，故答案为：。
【考点】二元一次方程组解应用题
13.【答案】3
【解析】∵，分别是边，的中点，∴是的中位线，∴，且，∴，∴，∴，∴，故答案为：3。
【考点】三角形的中位线定理，平行线等分线定理
14.【答案】25
【解析】∵，∴。∵为的直径，，∴，
∴，∴，∴，故答案为：°
【考点】圆的相关性质，圆周角与所对的弧的关系
15.【答案】略
【解析】以点C为圆心，将顺时针旋转，再将得到的三角形向左平移2个单位长度，或者也可以先将向左平移2个单位长度，再以直角顶点为中心顺时针旋转可以得到。
【考点】平移，旋转，轴对称的变化
16.【答案】到线段两端相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆的定义
【解析】该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；的圆周角所对的弦是直径。故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；的圆周角所对的弦是直径。

【考点】三角形外接圆
三、解答题
17.【答案】3
【解析】原式。
【考点】实数的综合运算
18.【答案】
【解析】，由①式得；由②式得，所以不等式组的解为。
【考点】解一元一次不等式组
19.【答案】∵，，∴。
∵平分交于点，
∴，。
∴，，∴。
【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理
20.【答案】，。
易知，，，，可得。
故答案分别为，，，，，。
【考点】矩形的性质，图形的面积关系，古代数学文化传承
21.【答案】（1）∵在方程中，
，∴方程总有两个实数根。
（2）∵，∴，。
∵方程有一根小于1，∴，解得：，∴的取值范围为。
【考点】一元二次方程根的判别式及求根公式
22.【答案】（1）∵，为的中点，∴。
∵，∴四边形是平行四边形。
∵，，∴，∴四边形是菱形。
（2）连接AC。

∵，平分，
∴，∴。
∵，
∴，∴，∴，。
在中，∵，∴，。
【考点】菱形的判定，直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质
23.【答案】（1）将代入，∴，∴，将代入，∴。
（2）①当时，，令，代入，，∴，∴，∴，令代入，∴，∴，∴，∴。
②，点在直线上，过点作平行于轴的直线，交直线于点，，∴，∵，即，∴0＜n≤1或n≥3
【考点】一次函数和反比例函数的图像及其性质
24.【答案】（1）证明：∵，∴。
∵是切线，
∴。∴。∴。
∵，∴。
∵，
∴。
∴。
（2）作于，连接。

∵，，∴，。
在中，，，
∴。
∵，，∴。
∴，
∵，∴。
∴的半径为。
【考点】圆的基本性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质
25.【答案】（1）
成绩
人数
部门






甲
0
0
1
11
7
1
乙
1
0
0
7
10
2
（2）A．（人）。
故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为200。
B．答案不唯一，理由合理即可。
可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高。
或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高。
故答案为：1，0，0，7，10，2。
【考点】数据的整理与描述，数据的分析
26.【答案】（1）通过取点、画图、测量可得时，，故答案为。
（2）利用描点法，图象如图所示。

（3）当为等腰三角形时，，作出直线与图象的交点坐标为，
∴为等腰三角形时，，故答案为。

【考点】等腰三角形的性质，函数的应用
27.【答案】（1）由得到：，，所以，。
设直线的表达式为：，
则，解得，
所以直线的表达式为。
（2）由得到：，
所以抛物线的对称轴是，顶点坐标是。
∵，∴。
令，，。
∵，
∴，即。
【考点】一次函数和二次函数的图像及性质，解一元二次方程
28.【答案】（1）；理由如下：
∵，是等腰直角三角形，
∴，。
∵，
∴，
∴。
（2）；理由如下：
连接，作，如图所示：

∵，，∴。
∴。
∴。
在和中，，
∴。
∴。
∴是等腰直角三角形。∴。
∴。
【考点】等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质
29.【答案】（1）①∵点，，，
∴，，，
∴与的最小距离为，与的最小距离为1，与的最小距离为，
∴的关联点是，；
故答案为：，。
②根据定义分析，可得当最小上的点到原点的距离在1到3之间时符合题意，
∴设，当时，
由距离公式得，，∴。
当时，，解得：。
∴点的横坐标的取值范围为：，或。
（2）∵直线与轴、轴交于点、，∴，。
如图1。

当圆过点时，此时，，∴。
如图2。

当直线与小圆相切时，切点为，∴。
∵直线的解析式为，
∴直线与轴的夹角。
∴。∴。
∴圆心的横坐标的取值范围为：。
如图3。

当圆过点，则，∴。
如图4。

当圆过点，连接，此时，，
∴。∴。
∴圆心的横坐标的取值范围为：；
综上所述；圆心的横坐标的取值范围为：或。
【考点】平面直角坐标系内点的坐标变化，新定义运用