江苏省南通市重点中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南通市重点中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021~2022学年度第二学期期中考试高二数学试题考试时间：120分钟，总分150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）设，向量且，则   A.  B.  C. 4 D. 3 A.9 B. 12 C.14 D.4对图中的，，三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有ABCA. 种 B. 种 C.12种 D.6种中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究．设，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为若，，则的值可以是A.  B.  C.  D. 已知空间中三点，，，则点到直线的距离为       ．A.            B.              C.            D. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，为中点，则等于A.  B.
C.  D. 已知在个电子元件中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过次测试恰好将个次品全部找出的概率A.              B.   C.              D. 若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ） A．    事件A发生的概率B．    事件B发生的概率C．    事件B不发生条件下事件A发生的概率       D．    事件A、B同时发生的概率二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的以下关于杨辉三角的猜想中正确的有
A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：
B. 由“在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：
C. 由“第行所有数之和为”猜想：
D. 由“，，”猜想已知空间向量，，则下列结论正确的是A.  B.
C.  D. 与夹角的余弦值为下列说法中，正确的选项是．所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ． 若组合式，则成立． ． 有台车床加工同一型号的零件第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有A. 任取一个零件是第台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若，则          ．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图，小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近的路线共有         .（结果用数字作答）将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒，共    种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许出现空盒，共   种放法.(结果用数字作答)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）如图所示，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，，平面平面。Ⅰ求证：平面；Ⅱ平面与平面所成锐二面角的大小。 解方程：；解不等式：已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为：．
求的值；     求含的项的系数；求展开式中含的项的系数。 今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市。在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的名医生其中男医生人、女医生人中，任选人奔赴上海新冠肺炎防治一线．求所选人中恰有1名女医生的概率；设“男医生甲被选中”为事件，“女医生乙被选中”为事件，求和． 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
求证：；求点B到平面EAC的距离；已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值． 请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．
利用上述的想法，结合等式，正整数．
（1）求的值．（2）求证：
2021~2022学年度第二学期期中考试高二数学参考答案1.  2.C  3. C  4.  5.  6.  7.A  8.  9.  10.  11.BD  12.
13.    14.    15. 210  16. 240,56
17.Ⅰ证明：四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
，，，，，，
则，．
，，，、平面，
平面，
为平面的一个法向量．
又 ，且平面．
平面．……………………………………………………………5分
Ⅱ设平面的一个法向量为，
则，，

 令，可取得，
平面，
平面一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，
因此，平面与平面所成锐二面角的大小为．……………………………10分
18. 解：因为，所以或，（1）解得或 …………………………………………………………5分
，则，即，，又，所以，所以，故或．
原不等式的解集为．…………………………………………………12分
19.解：：：，．……………………………3分
设的展开式的通项为，
则，令．
含的项的系数为；……………………………7分
由（1）知  展开式中含x2项的系数为：=147所以展开式中含x2项的系数为147……………………………………………12分20.解：设所选人中恰有1名女医生为事件M，故所选人中恰有1名女医生的概率为。………………………6分(2) ，，．………………………12分证明：，是的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，…………………………………………………………………………3分(2)由（1）知平面，平面，
，菱形中，，所以是正三角形，
．、、两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系．
 则，，，，，，，，设是平面的一个法向量，
则，
令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则
，
点B到平面EAC的距离为………………………7分．，，
设，，
则，
直线与平面所成的角为，
，由，解得，
．…………………………………………………………………………12分22解：在等式，正整数，
两边对求导得：，
令，，可得；…………………………………………………………………………………5分
式两边同时乘以得，
式两边对求导得：
，
令，得= ………………………………………………………………………12分