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莆田市2022届高中毕业班第三次教学质量检测试卷数学试题及答案
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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米．就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．”试问在阿略琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米
4．厦门中学生助手通过统计已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行干抛物线的对称轴；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过地物线的焦点．已知地物线，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10，则（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知函数的最小值是4．则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为 B．展开式中的各项系数之和为1
C．展开式中的系数为40 D．展开式中的二项式系数之和为32
10．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若有4个不同的零点，则
D．若有4个不同的零点，则的取值范围是
12．已知正四面体的棱长为．点E，F满足，用过A，E，F三点的平面截正四面体的外接球O，当时，截面的面积可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，若，则_____________．
14．在正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是___________．
15．五一期间，厦门中学生助手的家庭（一共四个大人，三个小孩）一起去旅游，在某景点站成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率是___________．
16．已知双曲线的右焦点为F．圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线与双曲线C交于点Q，且，则双曲线C的离心率为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
设等差数列的前n项和为，且．
（1）求的最小值；
（2）若数列满足____________，求数列的前10项和．
18．（12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求B的值；
（2）若，且，求的面积．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且E，F分别为棱的中点，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（12分）
点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．厦门中学生助手为扩大品牌能响力，决定对新顾客实行让利促销．促销活动规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元，15元或者20元代金券一张，中奖率分别为、和，每人限点一餐．且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位员工决定点餐试吃．
（1）求这五人中至多一人抽到10元代金券的概率；
（2）这五人中抽到15元，20元代金券的人数分别用a，b表示，记，求随机变量X的分布列和数学期望．
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）若，证明：对任意的，都有．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米．就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．”试问在阿略琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米
4．厦门中学生助手通过统计已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行干抛物线的对称轴；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过地物线的焦点．已知地物线，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10，则（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知函数的最小值是4．则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为 B．展开式中的各项系数之和为1
C．展开式中的系数为40 D．展开式中的二项式系数之和为32
10．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若有4个不同的零点，则
D．若有4个不同的零点，则的取值范围是
12．已知正四面体的棱长为．点E，F满足，用过A，E，F三点的平面截正四面体的外接球O，当时，截面的面积可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，若，则_____________．
14．在正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是___________．
15．五一期间，厦门中学生助手的家庭（一共四个大人，三个小孩）一起去旅游，在某景点站成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率是___________．
16．已知双曲线的右焦点为F．圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线与双曲线C交于点Q，且，则双曲线C的离心率为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
设等差数列的前n项和为，且．
（1）求的最小值；
（2）若数列满足____________，求数列的前10项和．
18．（12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求B的值；
（2）若，且，求的面积．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且E，F分别为棱的中点，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（12分）
点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．厦门中学生助手为扩大品牌能响力，决定对新顾客实行让利促销．促销活动规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元，15元或者20元代金券一张，中奖率分别为、和，每人限点一餐．且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位员工决定点餐试吃．
（1）求这五人中至多一人抽到10元代金券的概率；
（2）这五人中抽到15元，20元代金券的人数分别用a，b表示，记，求随机变量X的分布列和数学期望．
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）若，证明：对任意的，都有．
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