南京市2022届高三年级第二次（5月）模拟考试数学试题及答案

这是一份南京市2022届高三年级第二次（5月）模拟考试数学试题及答案，文件包含南京市2022届高三年级第三次模拟考试数学试题参考答案docx、南京市2022届高三年级第三次模拟考试数学试题参考答案pdf、南京市2022届高三年级第三次模拟考试数学试题docx、南京市2022届高三年级第三次模拟考试数学试题pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知R是实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝
A．{－1，0}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．
2．已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝4－3i，则|z|＝
A．eq \s\d1(\f(5,2))B．eq \s\d1(\f(eq \r(5),2))C．eq \s\d1(\f(eq \r(10),2))D．eq \s\d1(\f(5eq \r(2),2))
3．为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为
A．9B．18C．24D．27
4．函数f(x)＝(x－eq \s\d1(\f(1,x)))csx的部分图象大致为
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y
x
O
ABCD
5．我们知道，对于一个正整数N可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)，此时lgN＝n＋lga
(0≤lga＜1)．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是 位数．
A．71B．70C．69D．68
6．在(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N)的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)．若f(0，1)＋f(1，0)＝8，则a的值为
A．0B．1C．2D．3
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜ eq \s\d1(\f(π,2))) 的图象与y轴的交点为M(0，1)，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C．若△OBC的面积为3 eq \r(,2) （其中O为坐标原点），则函数f (x)的最小正周期为
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\al(x2，x≥0，,－x2，x＜0．))若x≥1，f(x＋2m)＋mf(x)＞0，则实数m的取值范围是
A．(－1，＋∞)B．(－eq \s\d1(\f(1,4))，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－eq \s\d1(\f(1,2))，1)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设P＝a＋eq \s\d1(\f(2,a))，a∈R，则下列说法正确的是
A．P≥2eq \R(,2)
B．“a＞1”是“P≥2eq \R(,2)”的充分必要条件
C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件
D．∃a∈(3，＋∞)，使得P＜3
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是
A．若a≠0，则点O在圆C外
B．圆C与x轴相切
C．若圆C截y轴所得弦长为4eq \r(2)，则a＝1
D．点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
11．连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则
A．事件B与事件C互斥B．P(A)＝eq \s\d1(\f(3,4))
C．事件A与事件B独立D．记C的对立事件为eq \(￣,C)，则P(B|eq \(￣,C))＝eq \s\d1(\f(3,7))
12．在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，AB＝AD＝eq \r(3)，则下列说法正确的是
A．BE∥平面PAC
B．PA⊥平面PBC
C．在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为eq \s\d1(\f(3,2))
D．记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当csθ∈(0，eq \s\d1(\f(eq \r(3),3)))时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量eq \(\s\up6(→),OP)与向量n＝(3，2)的数量积为 eq \(▲,________)．
14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列{an}的通项公式：an＝eq \(▲,________)．
（1）{an}是无穷等比数列；（2）数列{an}不单调；（3）数列{|an|}单调递减．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为eq \(▲,________)．
16．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值eq \s\d1(\f(1,9))的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Peq \s\d2(b)(n)＝lgeq \s\d2(b)eq \b\lc\(\rc\)(\s\d1(\f(n＋1,n)))，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性． 根据本福特定律，在某项大量经济数据(十进制)中，以6开头的数出现的概率为eq \(▲,________)；若eq \(\s\d7(n＝k),\s\up6(9),∑)P10(n)＝P10(1)，k∈N*，k≤9，则k的值为eq \(▲,________)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤．
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq \r(,3)asinC＝ccsA＋c．
（1）求A；
（2）若a＝eq \R(,7)b，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \s\d1(\f(4,3))eq \(AB,\s\up6(→))，求sin∠ADC．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2．
从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．
①a3＝3a1；②{eq \s\d1(\f(Sn,n))}为等差数列；③an＋2－an＝2．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．(本小题满分12分)
如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3eq \r(3)，∠ABC＝30º，AE⊥BC，垂足为E．以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90º(如图2)．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）若点F在线段PC上，且二面角F－AD－C的大小为30º，求三棱锥F－ACD的体积．
E
P
C
F
A
D
B
C
E
A
D
(第19题图1)
(第19题图2)
20．(本小题满分12分)
空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：
下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：
（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）
（2）如果把频率视为概率，且每天空气质量指数相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.7 EQ \s\up4(7)≈0.0824，结果精确到0.01）
（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：
已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n（n≥8，且n∈N*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总费用最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，g(x)＝xex－eq \s\d1(\f(f(x),x))，e为自然对数的底数．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）记函数g(x)在(0，＋∞)上的最小值为m，证明：e＜m＜3．
22．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线y＝x－5上．
（1）若点A的坐标为(1，eq \s\d1(\f(1,4)))，求AP的长；
（2）若AB＝2AP，求点P的坐标．
空气质量指数AQI
空气质量等级
[0，50]
优
(50，100]
良
(100，150]
轻度污染
(150，200]
中度污染
(200，300]
重度污染
(300，+∞）
严重污染
空气质量指数AQI
[0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
频数（单位：天）
3
6
15
6
更换滤芯数量（单位：个）
3
4
5
概率
0.2
0.3
0.5