2022届湖南省长沙市湖南师大附中高三下学期二模考试数学试题（含答案解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合A中至少有2个元素，则（ ）
A．B．C．D．
2．设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意N*，都有”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．现有5个小朋友站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（ ）
A．12种B．16种C．24种D．36种
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）．如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1：25，则（ ）
A．B．C．D．
6．设数列满足，点（n，）对任意的，都有（1，2），则数列的前n项和为为（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线（）的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两
点，若△ABF为等边三角形，则p=（ ）
A．3B．6C．4D．8
8．设函数恰有两个极值点（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…），则实数t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．z的虚部是D．若，则正整数n的最小值是3
10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
А．B．
C．D．
11．已知P是椭圆C：上的动点，过点Q（1，）的直线与椭圆交于M，N两点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为
B．椭圆C的离心率为
C．当Q为MN中点时，直线MN的斜率为
D．若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为1
12．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点做平行于底面的截面得到的所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的有（ ）
A．该截角四面体的表面积为
B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球的表面积为
D．该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个具有性质①②③的函数________．
①的定义域为（0，）；②；③当时，．
14．已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，点Q在棱CD上，则PQ=________．
15．设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是________．
16．已知函数（，e为自然对数的底数，e=2.71828…）．当a=2时，函数在点P（1，f（1））处的切线方程为________；若对成立，则实数a的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列的前n项和为，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，则在数列中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请举例写出此三项；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分12分）
某商场准备在五一期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装，2种家电，3种日用品这3类商品中，任意选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
（2）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m元的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？
19．（本小题满分12分）
在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l．
（1）证明：A1B⊥B1C；
（2）已知∠ABB1=60°，AB=AC=2，l上是否存在点P，使A1B与平面ABP所成角为60°？若存在，求B1P的长度；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABCD，它的宽为1米．
（1）若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设∠PAB=（rad），试用表示平板车的长度；
（2）要想平板车能顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？
21．（本小题满分12分）
已知双曲线C：（，）的右焦点为F（2，0），O为坐标原点，点A，B分别在C的两条渐近线上，点F在线段AB上，且OA⊥AB，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F作直线l交C于P，Q两点，问：在x轴上是否存在定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若a=1，比较与的大小；
（2）讨论函数的零点个数．