幂的运算（中上）学案-无答案

一、知识梳理

1.回顾：an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么?

        an=a*a*a***a（n个a相乘）

25表示什么？ 10×10×10×10×10 可以写成什么形式?

2.思考：①：式子103×102的意义是什么？请同学们根据自己的理解，看下列式子.

103 ×102  =（10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10=10（5）

那怎样计算10m×10n呢?(m,n都是正整数) 

②：猜想一下:  am·an= ?

猜想: am·an=am+n   (当m、n都是正整数)

am·an  =（aa…a）·（aa…a）（乘方的意义）

m个a      n个a

= aa……a            （乘法结合律）

(m+n)个a

=am+n                        （乘方的意义）

即am · an =  am+n                (当m、n都是正整数)

3.同底数幂的含义：同底数幂是指底数相同的幂。

（注意：在同底数幂中，底数可以是一个数或一个字母，也可以是一个单项式或一个多项式）

  4.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加

当m、n是正整数时，am an = am+n

当m、n、p是正整数时，amanap =am+n+p

5.幂的乘方：一般地有，

于是得(a = a(m，n都是正整数)

这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．

法则说明：（1）公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式．

（2）注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加．

6.积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

拓展 ：当三个或三个以上因式的积乘方时,  也具有这一性质：

7.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数______，指数______．

am÷an = ______.【a≠0，m、n 是正整数，m>n】；am÷an÷ap    =______.

8.同底数幂的除法的逆用：

（1）零指数幂：

当a≠0时，a0=  ______ ．用文字叙述：____________ 的数的零次幂等于______．

（2）负整数指数幂：

当a≠0，n是正整数时，an= ______ ．

用文字叙述：____________ 的数的n次幂等于 __________________  ．

二、典例精讲

例一：科学计数法

1、一种细菌的半径是厘米，用科学计数法表示为    米。

2、最薄的金箔的厚度为0.000000091m，用科学记数法表示为            ;

3、三峡一期工程结束后的当年发电量为5.5×109度，某市有10万户居民，若平均每户用电2.75×103度，那么三峡工程该年所发的电能供该市居民使用多少年？（结果用科学计数法表示）

例二：比大小

1、已知a=8131,b=2741,c=961，则a、b、c的大小关系是___.

2、若a=−0.22,b=−2−2,c=(−)−2,d=(−)0,则它们的大小关系是(    )

A. a<b<c<d    B. b<a<d<c    C. a<d<c<b    D. c<a<d<b

3、已知a＝2－555，b＝3－444，c＝6－222，请用“>”把它们按从大到小的顺序连接起来，并说明理由．

例三：混合运算整体思想（注意正负号问题）

1、(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2                                      2、

3、             4、 (m为偶数,)

例四：负指数的意义

1、要使(x－1)0－(x＋1)-2有意义，x的取值应满足什么条件？

2、已知: ，求x的值.

例五：分类讨论

1、你能求出满足(n-3)n =(n-3)2n-2的正整数n吗?

2、你能求出满足(n-3)n+3=(n-3)2n的正整数n吗?

例六：化归思想

1、若2x+5y—3=0，求4x－1·32y的值

2、已知x3=m,x5=n,用含有m，n的代数式表示x14=               

3、已知:2a·27b·37c·47d =1998,其中a,b,c,d是自然数,求(a-b-c+d)2004的值.

三、课堂训练

1、用科学记数法表示：

(1)0.000 34＝______；

(2)0.000 48＝______；

(3)0.000 007 30＝______；

(4)0.000 010 23＝_______．

2、观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32016的末位数字是___.

3、已知：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)，按以上式子，那么22+42+62+…+502=______.

4、3108与2144的大小关系是___.

5、︱x︱＝(x－1)0  ，则x =　　　　　．

6、如果等式，则的值为   

7、计算的结果是                                     (    )

A．       B．       C．       D．

8、若m为正整数，且a=－1，则－（－a）的值是（      ）

A．1            B.－1            C.0               D.1或－1

9、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(101)2表示二进制数，将它转换成十进制的形式是：1×22＋0×21＋1×20＝5，那么将二进制数 (10101)2转换成十进制数是    (    )

   A．41             B．21            C．13           D．11

10、下列各式中-定正确的是                                                (    )

    A．(2x－3) 0=1      B．0=0           C．(2－1) 0=1    D．(m2+1) 0=1

11、为了求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22009，因此2S－S＝22009－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009－1．

（1）仿照以上推理计算出1＋5＋52＋53＋…＋52009的值

（2） +…+

12、已知2a=3，2b=6，2c=12，试判断a，b，c之间的关系。

13、已知2x=a，4y=b，8z=ab，试猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由.

14、已知m=89、n=98,试用含m,n的式子表示7272.

15、52·32n+1·2n-3n·6n+2（n为正整数）能被13整除吗？

16、k取什么正整数值时，3k+2k是5的倍数？

17、已知5×100x=1，10y=200，求9x÷3y的值.

18、已知，求n的值．

19、152＝1×(1＋1)×100＋52＝225；

252＝2×(2＋1)×100＋52＝625；

352＝3×(3＋1)×100＋52＝1225．

    ．．．．．．

依此规律，第n个等式(n为正整数)为______．

20、阅读下列一段话，并解决下列问题：

  　观察下面一列数：1，2，4，8，…，我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比值都是2．我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比．

 　 (1)等比数列5，－10，20，…的第4项是_______；

  　(2)如果一列数a1，a2，a3，…是等比数列，且公比是q，根据上述规定有，，…，因此可以得到a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q·q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q2·q＝a1q3，…，那么an＝_______(用a1与q的代数式表示)．

(3)一个等比数列的第2项是6，第3项是－18，求它的第1项和第4项．

21、已知M(1)=−2,M(2)=(−2)×(−2),M(3)=(−2)×(−2)×(−2),…,M(n)=(−2)×(−2)×…(−2)n个−2相乘。

(1)计算：M(5)+M(6)

(2)求2M(2016)+M(2017)的值。

(3)猜想2M(n)与M(n+1)的关系并说明理由。

22、阅读材料，求1+2-1+2-2+…+2-2018的值.

解：设S=1+2-1+2-2+…+2-2018，①

则2S=2+1+2-1+2-2+…+2-2017，②

②-①得S=2-2-2018.

所以原式=2-2-2018.

请你仿此计算：

（1）1+3-1+3-2+…+3-2018；

（2）1+3-1+3-2+…+3-n.

23、把1.001×10−9、9.99×10−8、1.002×10−8、9.9999×10−7按从小到大的顺序排列，并用“<”连接.

24、有一句谚语说：“捡了芝麻,丢了西瓜。”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事,却忽略了具有重大意义的大事。据测算,5万粒芝麻才200克,你能换算出1粒芝麻有多少克吗?(把你的结果用科学记数法表示)

25、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0， ，b的形式，求.

26、化简：(y−x)2(x−y)+(x−y)3+2(x−y)2(y−x).

27、竞赛试题中经常涉及到正整数的高次幂的末位数字的问题，关于这点，主要有以下结论：第一，设m,n都是正整数，而a是m的末位数字，则mn与an的末位数字相同。第二，设p,q都是正整数，m是任意正整数，则m(4p+q)与mq的末位数字相同。

特别地，若m的末位数字是0、1、5或6，则mn的末位数字不变；若m的末位数字是4或9，则m(2p+q)与mq的末位数字相同。

例“已知正整数x5＝656356768，求x”解法如下：

数656356768是一个九位数，而1005＝1010是一个11位数，由此可以判定x是一个两位数，又因为55<6563<65,所以确定50＜x＜60，由末位数字的相关性质可知，x5与x的末位数字相同，所以x的末位数字为8，即x=58                       

请同学们在认真阅读以上的内容的基础上，尝试解决下列两题：

（1）试判断32006的个位数字是多少？。

（2）已知正整数x满足x5=6436343，求x的值？