正方形-中下 学案

这是一份正方形-中下 学案，共10页。学案主要包含了课堂训练，选择题，填空题，解答与计算题，课后作业，课后总结等内容，欢迎下载使用。
正方形一、教学目标1、知识与技能：理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系，掌握正方形的有关性质和判定方法。2、过程与方法：经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握推理的方法。二、知识梳理1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2. 性质：①四边都相等，四个角都是直角。对角线互相垂直平分且相等。     ②正方形面积=对角线乘积的一半     ③每条对角线平分一组对角3.判定：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；        ②有一组邻边相等的矩形是正方形；        ③有一个角是直角的菱形是正方形；        补充：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；              对角线互相垂直的矩形是正方形；              对角线相等的菱形是正方形；              对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 4.判定正方形的过程:1、先推导到矩形，再到正方形                   2、先推导到菱形，再到正方形                   3、先推导到平行四边形，再到正方形 三、典例精讲例1、正方形是轴对称图形，它的对称轴有(    )  A.2条               B.4条               C.6条                D.8条变式：1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(    )  A.45°              B.55°            C.60°               D.75°     2.如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点.求证：AE=CE.      例2、如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE等于(    )  A.2                 B.3               C.2                  D.2例3、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是________.      例4、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证AM=EF.四、课堂训练一、选择题：1. （2018·山东临沂·3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（　　）A．1     B．2     C．3     D．4   2. （2017贵州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（  ）A．60°     B．67.5°    C．75°     D．54°3. （2018·浙江宁波·4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（　 　）A．2a    B．2b    C．2a﹣2b     D．﹣2b4. （2017山东泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（　 　）A．18      B．     C．      D．5. （2018·天津·3分）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（   ）A.          B.        C.          D. 6.正方形具有而菱形不一定具有的性质是    (     )  A．对角线互相垂直         B．对角线互相平分  C．对角线相等          D．对角线平分一组对角7.下列判断中正确的是    (     )A．四边相等的四边形是正方形  B．四角相等的四边形是正方形  C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形  D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 8.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是    (     )  A．∠D＝90°      B．AB＝CD      C．AD＝BC   D．BC＝CD二、填空题：9. （2017•新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为　 　s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是     cm2．10. （2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=　     　．11. （2018•江西•3分）在正方形中，=6，连接,,是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为               .三、解答与计算题：12. （2018·浙江舟山·6分）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形       13. （2018·山东潍坊·8分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值． 14.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE．    (1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．  五、课后作业一 选择题： 1.如图,在▱ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点,在下列四个图形中,阴影部分的面积与其他三个阴影部分面积不相等的是（    ）  A.                 B.    C.              D.2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD.中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形（如图）,现有下列四种选法,你认为其中错误的是（     ）    A.①②           B.②③            C.①③       D.②④3.如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是(     )     A.3：4                  B.5：8                 C.9：16              D.1：24.如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为(     )    A.75°                 B.60°             C.55°                 D.45°   5.如图,将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移,点A移至线段AC的中点A′处,得新正方形A′B′C′D′,新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（      ）      A.              B.              C.1                 D.6.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,若点A的坐标为(1,),则点C坐标为(    )  A.( ,1)         B.(-1, )         C.(- ,1)         D.(- ，-1) 7.如图,E是边长为l的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值为（        ）       A.            B.             C.             D.   8.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是（     ）      A.2         B.3          C.           D.1+   9.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为（      ）      A.          B.         C.        D.10.如图,正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n,那么∆AEG的面积的值 （       ）      A.与m、n的大小都有关                    B.与m、n的大小都无关   C.只与m的大小有关                       D.只与n的大小有关  二 填空题：11.如图,将正方形ABCD沿BE对折,使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C,则∠BA′C=       度．   12.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为             13.如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为　　　　　　．   14.如图，正方形ABCD中，对角线BD长为15cm．P是线段AB上任意一点，则点P到AC，BD的距离之和等于        cm．   15.如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是 　　．   16.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示），把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为            ．   17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,以AC为边正方形面积为12,中线CD长度为2,则BC长度为          ．   18.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为      ．   19.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为       ．   20.如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q分别是边BC,CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是       ．                            21.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6，则另一直角边BC的长为          ．三 解答题：22.如图,在正方形ABCD中,BC=2,E是对角线BD上的一点,且BE=AB.求△EBC的面积．    23.如图,E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边之中点.   (1)求证：四边形EFGH为平行四边形；   (2)当AC、BD满足              时，四边形EFGH为菱形；     当AC、BD满足              时，四边形EFGH为矩形；      当AC、BD满足              时，四边形EFGH为正方形．   24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．     六、课后总结      课后作业参考答案1.C  2.B  3.B  4.B  5.B  6.C  7.A  8.A  9.B  10.D11.答案为：67.5．  12.答案为：16；  13.答案为：．  14.答案为：7.5.cm．15.答案为：16．  16.答案为：1或5.  17.答案为：2      18.答案为：5．19.答案为：6  20.答案为：4.5．   21.答案为：7．22.【解答】解：作EF⊥BC于F，如图所示：则∠EFB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∵BE=AB，∴BE=BC=2，∴EF=BF=BE=，∴△EBC的面积=BC•EF=×2×=．23.略24.【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．