


正方形-中下 学案
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这是一份正方形-中下 学案,共10页。学案主要包含了课堂训练,选择题,填空题,解答与计算题,课后作业,课后总结等内容,欢迎下载使用。
正方形一、教学目标1、知识与技能:理解正方形的概念,了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系,掌握正方形的有关性质和判定方法。2、过程与方法:经历探索正方形有关性质、判定条件的过程,在观察中寻求新知,在探究中发展推理能力,逐步掌握推理的方法。二、知识梳理1. 定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2. 性质:①四边都相等,四个角都是直角。对角线互相垂直平分且相等。 ②正方形面积=对角线乘积的一半 ③每条对角线平分一组对角3.判定:①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形; ②有一组邻边相等的矩形是正方形; ③有一个角是直角的菱形是正方形; 补充:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 4.判定正方形的过程:1、先推导到矩形,再到正方形 2、先推导到菱形,再到正方形 3、先推导到平行四边形,再到正方形 三、典例精讲例1、正方形是轴对称图形,它的对称轴有( ) A.2条 B.4条 C.6条 D.8条变式:1.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( ) A.45° B.55° C.60° D.75° 2.如图,E是正方形ABCD对角线BD上的一点.求证:AE=CE. 例2、如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE等于( ) A.2 B.3 C.2 D.2例3、如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PE+PC的最小值是________. 例4、如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证AM=EF.四、课堂训练一、选择题:1. (2018·山东临沂·3分)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4 2. (2017贵州)如图,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于O,则∠DOC的度数为( )A.60° B.67.5° C.75° D.54°3. (2018·浙江宁波·4分)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为( )A.2a B.2b C.2a﹣2b D.﹣2b4. (2017山东泰安)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为( )A.18 B. C. D.5. (2018·天津·3分)如图,在正方形中,,分别为,的中点,为对角线上的一个动点,则下列线段的长等于最小值的是( )A. B. C. D. 6.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角7.下列判断中正确的是 ( )A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 8.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是 ( ) A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD二、填空题:9. (2017•新疆)如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是 cm2.10. (2018·湖南省常德·3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连接BG,则∠AGB= .11. (2018•江西•3分)在正方形中,=6,连接,,是正方形边上或对角线上一点,若=2,则的长为 .三、解答与计算题:12. (2018·浙江舟山·6分)如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°。
求证:矩形ABCD是正方形 13. (2018·山东潍坊·8分)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值. 14.如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE、BE. (1)求证:四边形AEBD是矩形;(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?并说明理由. 五、课后作业一 选择题: 1.如图,在▱ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点,在下列四个图形中,阴影部分的面积与其他三个阴影部分面积不相等的是( ) A. B. C. D.2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD.中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④3.如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( ) A.3:4 B.5:8 C.9:16 D.1:24.如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( ) A.75° B.60° C.55° D.45° 5.如图,将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移,点A移至线段AC的中点A′处,得新正方形A′B′C′D′,新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A. B. C.1 D.6.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,若点A的坐标为(1,),则点C坐标为( ) A.( ,1) B.(-1, ) C.(- ,1) D.(- ,-1) 7.如图,E是边长为l的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值为( ) A. B. C. D. 8.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是( ) A.2 B.3 C. D.1+ 9.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为( ) A. B. C. D.10.如图,正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n,那么∆AEG的面积的值 ( ) A.与m、n的大小都有关 B.与m、n的大小都无关 C.只与m的大小有关 D.只与n的大小有关 二 填空题:11.如图,将正方形ABCD沿BE对折,使点A落在对角线BD上的A′处,连接A′C,则∠BA′C= 度. 12.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 13.如图,已知正方形ABCD,点E在边DC上,DE=4,EC=2,则AE的长为 . 14.如图,正方形ABCD中,对角线BD长为15cm.P是线段AB上任意一点,则点P到AC,BD的距离之和等于 cm. 15.如图,正方形ABCD的边长为4,将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处,该三角板的两条直角边与CD交于点F,与CB延长线交于点E,四边形AECF的面积是 . 16.已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图所示),把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为 . 17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为边正方形面积为12,中线CD长度为2,则BC长度为 . 18.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为 . 19.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为 . 20.如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q分别是边BC,CD的动点(均不与顶点重合),当四边形AEPQ的周长取最小值时,四边形AEPQ的面积是 . 21.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6,则另一直角边BC的长为 .三 解答题:22.如图,在正方形ABCD中,BC=2,E是对角线BD上的一点,且BE=AB.求△EBC的面积. 23.如图,E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边之中点. (1)求证:四边形EFGH为平行四边形; (2)当AC、BD满足 时,四边形EFGH为菱形; 当AC、BD满足 时,四边形EFGH为矩形; 当AC、BD满足 时,四边形EFGH为正方形. 24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.(1)求证:CE=AD;(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由. 六、课后总结 课后作业参考答案1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.A 8.A 9.B 10.D11.答案为:67.5. 12.答案为:16; 13.答案为:. 14.答案为:7.5.cm.15.答案为:16. 16.答案为:1或5. 17.答案为:2 18.答案为:5.19.答案为:6 20.答案为:4.5. 21.答案为:7.22.【解答】解:作EF⊥BC于F,如图所示:则∠EFB=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=2,∠DAB=∠ABC=90°,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=BF,∵BE=AB,∴BE=BC=2,∴EF=BF=BE=,∴△EBC的面积=BC•EF=×2×=.23.略24.【解答】(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE,∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD;(2)解:四边形BECD是菱形,理由是:∵D为AB中点,∴AD=BD,∵CE=AD,∴BD=CE,∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形,∵∠ACB=90°,D为AB中点,∴CD=BD,∴▱四边形BECD是菱形;(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由是:解:∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC,∵D为BA中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∵四边形BECD是菱形,∴菱形BECD是正方形,即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
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