中考数学一轮复习讲义第34讲《四边形》教案

这是一份中考数学一轮复习讲义第34讲《四边形》教案，共38页。教案主要包含了四边形的内角和定理及外角和定理，平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点三十四：四边形
聚焦考点☆温习理解
一、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、平行四边形
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。学=科网
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
三、矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
四、菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
五、正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
六、梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
4、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、四边形的内角和及外角和
【例1】（2018新疆乌鲁木齐）如果边形每一个内角等于与它相邻外角的倍，则的值是 （ ）
A． B． C. D．

【举一反三】
（2018年湖北省宜昌市夷陵区东湖初级中学数学中考模拟试题（一））一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 16或15或17

考点典例二、平行四边形的性质与判定
【例2】淄博市2018年在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．


【举一反三】
（2017黑龙江绥化）如图，在中， 相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：
①，②，③，④∽，其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①④ C． ②③④ D．①②③

考点典例三、矩形的性质与判定
【例3】连云港市2018年如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．


【举一反三】
已知矩形ABCD中，AB=4，BC=7．∠BAD的平分线AE交BC于E点，EF⊥DE交AB于F点，则EF的长为_____．


考点典例四、菱形的性质与判定
【例4】如图，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，若AB=4，则EF=__________．


【举一反三】
2018年浙江省舟山市用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（ ）
A. B. C. D.

考点典例五、正方形的性质与判定
【例5】如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=____度．


【举一反三】
如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是_____．(填序号)


考点典例六、等腰梯形的性质与判定
如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　　．


【举一反三】
如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（　　）

　 A． B． C． D．

课时作业☆能力提升
一．选择题
1．宜宾市2018年在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
2.如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的正三角形，那么剪出的正三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

3.下列命题中，真命题是（　　）
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

4.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为(　 　)

A. 1∶3 B. 1∶5 C. 1∶6 D. 1∶11

5.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. B. C. D.

6.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（　　）

A. 3 B. 2 C. D.

7.如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的正三角形，那么剪出的正三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

8. 天津市2018年如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）

A. B. C. D.

9.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图②，折痕为MN，连接ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图③，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论：①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG＝∠AMN；④tan∠EHG＝.其中正确的个数是(　 　)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二．填空题
10. 宿迁市2018年一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.

11.如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________º.


12. 淄博市2018年在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．


13. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，若AB=4，则EF=__________．


14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是________．


三、解答题
15. 盐城市2018年在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示.

（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

16.如图，在长方形中， 是边上一动点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点.
（1）当＝，且是的中点时，求证： ＝.
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）类比探究：若＝3， ＝2，则＝ .


17. 连云港市2018年如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．


18. 金华市2018年在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．










参考答案：
考点典例一、四边形的内角和及外角和
【例1】（2018新疆乌鲁木齐）如果边形每一个内角等于与它相邻外角的倍，则的值是 （ ）
A． B． C. D．
【答案】C．
【解析】
试题解析：设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得，2x+x=180°，
解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选C．
考点：多边形内角与外角．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
【举一反三】
（2018年湖北省宜昌市夷陵区东湖初级中学数学中考模拟试题（一））一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 16或15或17
【答案】D
则多边形的边数是15，16，17．
故选D．
考点典例二、平行四边形的性质与判定
【例2】淄博市2018年在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

【答案】10
【解析】分析：要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，CD=AB=2
由折叠，∠DAC=∠EAC
∵∠DAC=∠ACB
∴∠ACB=∠EAC
∴OA=OC
∵AE过BC的中点O
∴AO=BC
∴∠BAC=90°
∴∠ACE=90°
由折叠，∠ACD=90°
∴E、C、D共线，则DE=4
∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10
故答案为：10
点睛：本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略E、C、D三点共线．
【举一反三】
（2017黑龙江绥化）如图，在中， 相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：
①，②，③，④∽，其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①④ C． ②③④ D．①②③
【答案】D

∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选D．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．
考点典例三、矩形的性质与判定
【例3】连云港市2018年如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；

点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
【举一反三】
已知矩形ABCD中，AB=4，BC=7．∠BAD的平分线AE交BC于E点，EF⊥DE交AB于F点，则EF的长为_____．

【答案】5
【解析】试题解析：连接DF，
在矩形ABCD中，∵AE平分∠BAD，

则在中，
在 中，
即 ①
在中， ②
在中， ③
化简可得 即

则在中，
故答案为：5．

考点典例四、菱形的性质与判定
【例4】如图，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，若AB=4，则EF=__________．

【答案】

又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴
∴
又∵AF垂直平分边CD，
∴在四边形AECF中,
易证
是等边三角形,

故答案为：
【举一反三】
2018年浙江省舟山市用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C

【点评】考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键.
考点典例五、正方形的性质与判定
【例5】如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=____度．

【答案】15

故答案为：15．
【举一反三】
如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是_____．(填序号)

【答案】②③

所以△ABE∽△ECF②正确.
故答案为②③.
考点典例六、等腰梯形的性质与判定
如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　　．

【答案】5.

【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．
【举一反三】
如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（　　）

　 A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，[来源:学科网ZXXK]
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°=．
故选A．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．宜宾市2018年在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
【答案】B
【解析】分析：充分利用角平分线的性质证明∠E=90°即可判断．
详解：如图，


点睛：本题考查的是直角三角形的判定，熟记有一个角是90°的三角形是直角三角形是解题的关键.
2.如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的正三角形，那么剪出的正三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
【答案】D
【解析】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选：D．
3.下列命题中，真命题是（　　）
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
故选D.
4.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为(　 　)

A. 1∶3 B. 1∶5 C. 1∶6 D. 1∶11
【答案】C

5.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接OC.

∵在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC= ，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积−三角形ODC的面积
，
.
故选：A.
6.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（　　）

A. 3 B. 2 C. D.
【答案】A

则




故选A．

7.如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的正三角形，那么剪出的正三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
【答案】D
【解析】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选：D．
8. 天津市2018年如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．
详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．

∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图②，折痕为MN，连接ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图③，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论：①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG＝∠AMN；④tan∠EHG＝.其中正确的个数是(　 　)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
如图2，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x．∵点E是CD的中点，AB=CD=，∴DE=CD=．在Rt△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4．∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF．∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴，即，∴EN=，∴AN=，∴tan∠AMN==，∴tan∠EHG=，故④正确；
又∵tan60°=＞，∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，∴△MEH不是等边三角形，故②错误，∴正确的结论有3个．故选C．

二．填空题
10. 宿迁市2018年一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.
【答案】8
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可.
【详解】设这个多边形边数为n，
∴（n-2）×180°=360°×3，
∴n=8，
故答案为：8.
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为360度是解题的关键.
11.如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________º.

【答案】67.5.
【解析】
试题分析：∵正八边形的每个内角为，且该图案由8个全等的等腰梯形拼成，
∴.
考点：1.多边形内角和定理；2. 等腰梯形的性质.
12. 淄博市2018年在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

【答案】10
【解析】分析：要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，CD=AB=2
由折叠，∠DAC=∠EAC
∵∠DAC=∠ACB
∴∠ACB=∠EAC
∴OA=OC
∵AE过BC的中点O
∴AO=BC
∴∠BAC=90°
∴∠ACE=90°
由折叠，∠ACD=90°
∴E、C、D共线，则DE=4
∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10
故答案为：10
点睛：本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略E、C、D三点共线．
13. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，若AB=4，则EF=__________．

【答案】

又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴
∴
又∵AF垂直平分边CD，
∴在四边形AECF中,
易证
是等边三角形,

故答案为：
14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是________．

【答案】9

∴OD=OC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥CD，
∵AB∥CD，AD⊥CD，
∴EH⊥AB,AD∥OE,∵OA∥DE，
∴四边形ADEO是平行四边形，
∴AD=OE=6，
∵OH∥AD，OB=OD，
∴BH=AH，

∴EH=OH+OE=3+6=9，
故答案为:9.
点睛:平行四边形的判定:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
三、解答题
15. 盐城市2018年在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示.

（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形，理由见解析.
【解析】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
详证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF.
（2）连接AC，

四边形AECF是菱形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16.如图，在长方形中， 是边上一动点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点.
（1）当＝，且是的中点时，求证： ＝.
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）类比探究：若＝3， ＝2，则＝ .

【答案】（1）详见解析；（2）.
∴∠ABF=∠DAG,所以AB=DA,所以△ABP△DAG,
∴AG=BP.
(2)由（1）AP=DG,AP=AD,DG=AD, ∴AB , ∴△DGE△BAE,∴.
（3）设AD=1,AB=3,DG=类比（2）可得∴△DGE△BAE,所以.
故答案为.
点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，通过改变条件，要抓住哪些条件变与哪些原理不变的核心，解题利用了相似的性质，矩形的性质，从而得到结果.
17. 连云港市2018年如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；

点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
18. 金华市2018年在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

【答案】（1）①FG =2；②BC=12；（2）等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．

详解：（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，
中Rt△AEG中，AG=，
∵EG∥AC，
∴△ACF∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=AG=2．
②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，

∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，
∵AE∥BC，
∴∠B=∠1=x，
∵GF=GD，
∴∠3=∠2=x，
在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，
∴x+（x+90°）+x=180°，
解得x=30°，
∴∠B=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=．
（2）在Rt△ABC中，AB==15，
如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，

∵DG∥AC，
∴△BDG∽△BCA，
设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，
∴GF=GD=4x，则AF=15-9x，
∵AE∥CB，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
∴，
整理得：x2-6x+5=0，
解得x=1或5（舍弃）
∴腰长GD为=4x=4．
如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，
∴FG=DG=12+4x，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
∴，
解得x=2或-2（舍弃），
∴腰长DG=4x+12=20．
如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．

如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x-12，
∴FH=GH=DG•cos∠DGB=，
∴FG=2FH=，
∴AF=AG-FG=，
∵AC∥EG，
∴△ACF∽△GEF，
∴，
∴，解得x=或-（舍弃），
∴腰长DG=4x-12=，
综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．
点睛：本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．