中考数学一轮复习讲义第39讲《与圆有关的角》学案

这是一份中考数学一轮复习讲义第39讲《与圆有关的角》学案，共26页。学案主要包含了圆周角与垂径定理的关系，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点三十九：与圆有关的角
聚焦考点☆温习理解
一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。[来源:Z_xx_k.Com]
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。学-科网
3、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

名师点睛☆典例分类
考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.
【例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（　　）

A. 75° B. 70° C. 65° D. 35°

【举一反三】
（2018海南中考）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）

A．25° B．50° C．60° D．80°

考点典例二、圆周角与垂径定理的关系
【例2】扬州市2018年如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．


【举一反三】
泰安市2018年如图，是的外接圆，，，则的直径为__________．


考点典例三 圆周角与切线之间的关系
【例3】如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为（ ）

A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°

【举一反三】
如图， 是⊙的切线，切点为， 是⊙的直径， 交⊙于点，连结，若 的度数为70°，则∠的大小为（ ）

A. 70° B. 60° C. 55° D. 35°

考点典例四 与圆周角有关的证明
【例4】（2018湖南常德）如图，已知是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，.
(1)求证：；
(2)求证：是的切线.


【举一反三】
天津市2018年已知是的直径，弦与相交，.

（Ⅰ）如图①，若D为的中点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点P，若，求的大小.

课时作业☆能力提升
一．选择题
1．2018年甘肃省武威市如图，过点，，，点B是x轴下方上的一点，连接，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.

2. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内

3. （2018山东济南）如图，□中，，，以为直径的⊙交于点，则弧的长为（ ）

A． B． C. D．

4. （2017新疆建设兵团）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）

A．12 B．15 C．16 D．18[来

5.如图，直径为10的经过点C和点O，点B是y轴右侧优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( )

A. B. C. D.

6.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于（　　）

A. 80 B. 60 C. 50 D. 40

二．填空题
1. 扬州市2018年如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．


2. 2018年浙江省舟山市如图，在矩形中，，，点E在上，，点在边上一动点，以为斜边作.若点在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是__________．


3. 泰安市2018年如图，是的外接圆，，，则的直径为__________．


4. 金华市2018年如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为_____cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为_____cm．


5. （2018湖南株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=　　．


6. （2017湖北孝感）已知半径为的中，弦，弦，则的度数为 ．

7. （2017青海西宁）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则______.


8. （2017海南）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．


三、解答题
1. （2018湖北黄冈） 如图，的直径 弦的平分线交于 过点作交延长线于点，连接

（1）由，，围成的曲边三角形的面积是 ；
（2）求证：是的切线；
（3）求线段的长.









参考答案：
考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.
【例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（　　）

A. 75° B. 70° C. 65° D. 35°
【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】分析：直接根据圆周角定理求解．
详解：∵∠ACB=35°，
∴∠AOB=2∠ACB=70°．
故选B．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【举一反三】
（2018海南中考）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）

A．25° B．50° C．60° D．80°
【答案】B.
考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.
考点典例二、圆周角与垂径定理的关系
【例2】扬州市2018年如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．

【答案】

点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【举一反三】
泰安市2018年如图，是的外接圆，，，则的直径为__________．

【答案】


点睛：本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
考点典例三 圆周角与切线之间的关系
【例3】如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为（ ）

A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°
【答案】B

故选B.
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
【举一反三】
如图， 是⊙的切线，切点为， 是⊙的直径， 交⊙于点，连结，若 的度数为70°，则∠的大小为（ ）

A. 70° B. 60° C. 55° D. 35°
【答案】C
【解析】若 的度数为70°，所以∠BOA=70°，所以∠C=35°，∠CAD=90°，所以∠D=55°，故选C.
考点典例四 与圆周角有关的证明
【例4】（2018湖南常德）如图，已知是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，.
(1)求证：；
(2)求证：是的切线.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.
【解析】学+科网
试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．
试题解析：（1）∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，

∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
【举一反三】
天津市2018年已知是的直径，弦与相交，.

（Ⅰ）如图①，若D为的中点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点P，若，求的大小.
【答案】（1）52°，45°；（2）26°
【解析】分析：（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；
（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.


（Ⅱ）如图，连接.
∵切于点D，
∴，即.
由，又，
∴是的外角，
∴.
∴.
又，得.
∴.

点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．2018年甘肃省武威市如图，过点，，，点B是x轴下方上的一点，连接，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】连接CD，根据圆周角定理可知∠OBD=∠OCD,根据锐角三角形函数即可求出∠OCD的度数.
【解答】连接CD，

∵∠OBD与∠OCD是同弧所对的圆周角，
∴∠OBD=∠OCD.
∵
∴

故选B.
【点评】考查圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等是解题的关键.
2. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内
【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】D
【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选D.
【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.
3. （2018山东济南）如图，□中，，，以为直径的⊙交于点，则弧的长为（ ）

A． B． C. D．
【答案】B．
【解析】
试题解析：连接OE，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴的长=.
故选：B．
考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．
4. （2017新疆建设兵团）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）

A．12 B．15 C．16 D．18[来
【答案】A.
【解析】
试题解析：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC=AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE==6，
∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．
故选A．
考点：圆周角定理；垂径定理
5.如图，直径为10的经过点C和点O，点B是y轴右侧优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( )

A. B. C. D.
【答案】A
故选A．

点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
6.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于（　　）

A. 80 B. 60 C. 50 D. 40
【答案】D
【解析】试题解析：由圆周角定理得,
故选D.
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半
二．填空题
1. 扬州市2018年如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．

【答案】

点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2. 2018年浙江省舟山市如图，在矩形中，，，点E在上，，点在边上一动点，以为斜边作.若点在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是__________．

【答案】0或或4
【解析】【分析】在点F的运动过程中分别以EF为直径作圆，观察圆和矩形矩形边的交点个数即可得到结论.
【解答】当点F与点A重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意.
当点F从点A向点B运动时，
当时，共有4个点P使是以为斜边.
当时，有1个点P使是以为斜边.

当时，有2个点P使是以为斜边.
当时，有3个点P使是以为斜边.

当时，有4个点P使是以为斜边.
当点F与点B重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意.
故答案为：0或或4
【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在数学中的应用.
3. 泰安市2018年如图，是的外接圆，，，则的直径为__________．

【答案】


点睛：本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
4. 金华市2018年如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为_____cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为_____cm．

【答案】 30 10﹣10，
【解析】分析：（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；
详解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．

∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=15，
∴B1C1=30
∴弓臂两端B1，C1的距离为30
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．
设半圆的半径为r，则πr=，
∴r=20，
∴AG=GB2=20，GD1=30-20=10，
在Rt△GB2D2中，GD2=
∴D1D2=10-10．
故答案为30，10-10，
点睛：本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5. （2018湖南株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=　　．

【答案】80°.
【解析】
试题分析：连接EM，
∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，
∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，
∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，
∴∠EOM=2∠EAM=80°，学*科网
故答案为：80°．

考点：圆周角定理．
6. （2017湖北孝感）已知半径为的中，弦，弦，则的度数为 ．
【答案】150°或30°

考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.等边三角形的判定与性质；4.圆周角定理.
7. （2017青海西宁）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则______.

【答案】60°
【解析】
试题分析：∵∠BOD=120°，∴∠A=∠BOD=60°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE=∠A=60°．
考点： 1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理．
8. （2017海南）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．

【答案】.
【解析】
试题分析：根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，
∴MN最大=．故答案为：．

考点：三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形.
三、解答题
1. （2018湖北黄冈） 如图，的直径 弦的平分线交于 过点作交延长线于点，连接

（1）由，，围成的曲边三角形的面积是 ；
（2）求证：是的切线；
（3）求线段的长.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
试题解析：（1）如图，连接OD，
∵AB是直径，且AB=10，∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，
∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，∴∠AOD=90°，
则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD= +×5×5=；

（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，
∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（3）∵AB=10、AC=6，∴BC==8，
过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，
∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，
∴，即，∴EF=，∴DE=DF+EF=+5=．
考点：1.切线的判定；2.圆周角定理；3.正方形的判定与性质；4.正切函数的定义.