中考数学一轮复习讲义第42讲《弧长及扇形的面积》学案

这是一份中考数学一轮复习讲义第42讲《弧长及扇形的面积》学案，共28页。学案主要包含了弧长公式的应用，扇形面积的计算，扇形面积公式的运用，圆锥的侧面展开图，求阴影部分的面积等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习讲义
考点四十二：弧长及扇形的面积
聚焦考点☆温习理解
1．弧长及扇形的面积
(1)半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式：l＝；
(2)半径为r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：S＝＝lr．
2．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.
(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝πrl；
(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝πrl＋πr2．
3．求阴影部分面积的几种常见方法
(1)公式法；
(2)割补法；
(3)拼凑法；
(4)等积变形构造方程法；
(5)去重法．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、弧长公式的应用
【例1】已知扇形的圆心角为45°，半径长为10，则该扇形的弧长为（　　）
A.              B.                       C. 3π                D.

【举一反三】
如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧的长为（ ）

A. B. C. D. [来源:Zxxk.Com]

考点典例二、扇形面积的计算
【例2】已知圆心角为120°的扇形面积为12，那么扇形的弧长为( )
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2

【举一反三】
（2017辽宁营口）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇形OBD的面积为 ．


考点典例三、扇形面积公式的运用
【例3】如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）

A. B. C. D.

【举一反三】
如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D.

考点典例四、圆锥的侧面展开图
【例4】圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则它的表面积为（   ）
A. 12π cm2                B. 20π cm2                     C. 26π cm2            D. 36π cm2

【举一反三】
已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为（　　）
A. 15π B. 24π C. 30π D. 39π

考点典例五、求阴影部分的面积
【例5】如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是（ ）

A. 面积为 B. 面积为
C. 面积为 D. 面积随扇形位置的变化而变化
【举一反三】
已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：CB2=AB•DB；
（2）若⊙O的半径为2，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．


课时作业☆能力提升
1.如图，以O为圆心的圆与直线y=-x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（ ）

A. B. C. D.

2.如图，菱形ABCD放置在直线l上(AB与直线l重合)，AB＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为( )

A. B. C. D.
3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. π﹣4          B.               C. π﹣2            D.

4. 成都市2018年如图，在中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.

5.已知圆锥的底面半径为3cm，母线为5cm，则圆锥的侧面积是 ( )
A. 30πcm2 B. 15πcm2 C. cm2 D. 10πcm2

6. 滨州市2018年已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（　　）
A. B. C. D.

7.（2018年湖北黄冈）已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是（　　）

A. 3cm B. 3cm C. 9cm D. 6cm

8. 温州市2018年已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________．

9.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，AD长为12cm，则贴纸（两面贴）的面积是_____cm2．


10. （2018年辽宁省葫芦岛）如图，△ABC中，∠C=90°，tanA=，以C为圆心的圆与AB相切于D．若圆C的半径为1，则阴影部分的面积S=_____．


11. 金华市2018年如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为_____cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为_____cm．

12.（2017年广东省东莞市中堂六校中考数学三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm2．（结果保留π）．


13.每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△OAB先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1并直接写出点B1的坐标；
（2）将△OAB绕原点O顺时针旋转90º，得到△OA2B2，请画出△OA2B2，并求出点A旋转到A2时线段OA扫过的面积．


14.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A;
（2）若CE=2，DE=2，求AD的长，
（3）在（2）的条件下，求弧BD的长。


15. 如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD=．

（1）求∠C的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求阴影部分面积．
















参考答案：
考点典例一、弧长公式的应用
【例1】已知扇形的圆心角为45°，半径长为10，则该扇形的弧长为（　　）
A.              B.                       C. 3π                D.
【答案】B
【解析】试题解析：根据弧长公式：l= .
故选B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．
【举一反三】
如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧的长为（ ）

A. B. C. D. [来源:Zxxk.Com]
【答案】A
【解析】

考点典例二、扇形面积的计算
【例2】已知圆心角为120°的扇形面积为12，那么扇形的弧长为( )
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】试题分析：根据扇形的面积计算公式可得： ，则r=6，根据弧长的计算公式可得： .
【点睛】本题主要考查的就是扇形的面积计算公式和弧长的计算公式，属于简单题.扇形的面积计算公式为： (S为扇形的面积，l为扇形的弧长，n为扇形所对的圆心角的度数，r为扇形所在的圆的半径)，弧长的计算公式为： (l为扇形的弧长，n为扇形所对的圆心角的度数，r为扇形所在的圆的半径).在计算的时候我们一定要根据实际题目选择合适的公式进行计算.
【举一反三】
（2017辽宁营口）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇形OBD的面积为 ．

【答案】．

考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．
考点典例三、扇形面积公式的运用
【例3】如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
详解：连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）．
故选A．

点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
【举一反三】
如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵半径为1的四个圆两两相切，
∴四边形是边长为2的正方形，圆的面积为π，
阴影部分的面积=2×2−π=4−π，[来源:学_科_网Z_X_X_K]
故选A.
考点典例四、圆锥的侧面展开图
【例4】圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则它的表面积为（   ）
A. 12π cm2                B. 20π cm2                     C. 26π cm2            D. 36π cm2
【答案】D

【点睛】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2的应用．
【举一反三】
已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为（　　）
A. 15π B. 24π C. 30π D. 39π
【答案】B
【解析】根据圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可得到圆锥表面积=π×32+π×3×5=24π，
故选：B．

考点典例五、求阴影部分的面积
【例5】如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是（ ）

A. 面积为 B. 面积为
C. 面积为 D. 面积随扇形位置的变化而变化
【答案】C
【解析】试题解析：连接CD，

∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴AB=
∴DC=BD=，∠BDC=90°，∠B=∠DCA=45°，
∴∠BDH=∠CDG，
在△BDH和△CDG中，
，
∴△BDH≌△CDG，
∴图中阴影部分的面积=××=2π-4.
故选C．
【举一反三】
已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：CB2=AB•DB；
（2）若⊙O的半径为2，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；
（2）阴影部分的面积=
【解析】试题分析：（1）由CP是 ⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB，从而得出结论；
（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB-S△OCB=．
试题解析：
(1)提示：先证∠ACB=∠CDB=90°，
再证∠BAC=∠BCD,
得△ACB∽△CDB，
∴

(2)解：如图，连接OC，
∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴S△OCB=，S扇形OCB= ，
∴阴影部分的面积=S扇形OCB－S△OCB=．
课时作业☆能力提升
1.如图，以O为圆心的圆与直线y=-x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C

∴M（，0），N（0，），
∴OM=ON=，△OMN是等腰直角三角形，
∴∠OMN=∠ONM=45°，
∵OC⊥AB，
∴OC= OM=．
∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB，
∴AB=2AC，AC= ，∠AOB=60°，OA=OB=AB，
∴AB=，
∴弧AB的长度为：.
故选C.

2.如图，菱形ABCD放置在直线l上(AB与直线l重合)，AB＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出图形即可知道，从点A离开出发点到A第一次落在直线上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长，由此即可解决问题.
解：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长.

由题意可知=，∠DOA2=120°，DO=4，
所以点A运动经过的路径的长度=，
故选D.
3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. π﹣4          B.               C. π﹣2            D.
【答案】C
【解析】试题解析：∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴△OBC的BC边上的高为： OB=，
∴BC=2
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=.
故选C．
4. 成都市2018年如图，在中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
详解：∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，
∴∠C=120°，
∴图中阴影部分的面积是：=3π，
故选C．
点睛：本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．
5.已知圆锥的底面半径为3cm，母线为5cm，则圆锥的侧面积是 ( )
A. 30πcm2 B. 15πcm2 C. cm2 D. 10πcm2
【答案】B

6. 滨州市2018年已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C

点睛：此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．
7.（2018年湖北黄冈）已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是（　　）

A. 3cm B. 3cm C. 9cm D. 6cm
【答案】B
【解析】∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则： =×2×3π，其中r=3，
∴n=180°，如图所示：

由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
∴BP==3cm，
故蚂蚁沿线段Bp爬行，路程最短，最短的路程是3cm．
8. 温州市2018年已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________．
【答案】6.
【解析】分析: 设扇形的半径为r，根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.
详解: 设扇形的半径为r，
根据题意得：，
解得 ：r=6
故答案为：6.
点睛: 此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答.
9.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，AD长为12cm，则贴纸（两面贴）的面积是_____cm2．

【答案】504π
【解析】试题解析：设AB=R，AD=r，则有
S贴纸=2（πR2-πr2）
=π（R2-r2）
=π（R+r）（R-r）
=π（30+12）（30-12）
=504π（cm2）．
故答案为504π．
10. （2018年辽宁省葫芦岛）如图，△ABC中，∠C=90°，tanA=，以C为圆心的圆与AB相切于D．若圆C的半径为1，则阴影部分的面积S=_____．

【答案】
【解析】连接CD，
∵以C为圆心的圆与AB相切于D，⊙C的半径为1，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，CD=1，S扇形CEF=，
∵tanA=，CD=1，
∴AD=，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理可得：AC=，
又∵在Rt△ABC中，tanA= ，
∴BC=，
∴S△ACB=AC•BC=，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CEF=.
故答案为： .

11. 金华市2018年如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为_____cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为_____cm．

【答案】 30 10﹣10，
【解析】分析：（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；
详解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．

∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=154，
∴B1C1=304
∴弓臂两端B1，C1的距离为30
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．
设半圆的半径为r，则πr=，
∴r=20，
∴AG=GB2=20，GD1=30-20=10，
在Rt△GB2D2中，GD2=
∴D1D2=10-10．
故答案为30，10-10，
点睛：本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12.（2017年广东省东莞市中堂六校中考数学三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm2．（结果保留π）．

【答案】36π
【解析】∵∠C是直角，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴BC=AB=×12=6cm，
∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE，
∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC
=S扇形ABE﹣S扇形BCD=-=48π﹣12π=36πcm2
点睛：能根据题意确定出出阴影部分的面积=S扇形ABE﹣S扇形BCD，是解题的关键.
13.每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△OAB先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1并直接写出点B1的坐标；
（2）将△OAB绕原点O顺时针旋转90º，得到△OA2B2，请画出△OA2B2，并求出点A旋转到A2时线段OA扫过的面积．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）．

的坐标为：（9，7），
（2）如图所示:

∴S = ．
14.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A;
（2）若CE=2，DE=2，求AD的长，
（3）在（2）的条件下，求弧BD的长。

【答案】（1）证明见解析；（2）4 （3）

试题解析： 证明：连接,

∵是切线，
∴，
即
∵为的直径，

即














在直角 中,



是等边三角形,则
则的长是
15. 如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD=．

（1）求∠C的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求阴影部分面积．
【答案】（1）∠C=60°；（2）证明见解析；（3）S阴影= 3π-．
【解析】试题分析：（1）连接BD，由AD为圆的直径，得到∠ABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB为直角，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出∠C的度数；
试题解析：（1）如图，连接BD，

∵AD为圆O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=AD=3，
∵CD∥AB，∠ABD=90°，
∴∠CDB=∠ABD=90°，
在Rt△CDB中，tanC===，
∴∠C=60°；
（2）证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=30°，
∵CD∥AB，∠C=60°，
∴∠ABC=180°-∠C=120°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=120°-30°=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
（3）解：过点O作OE⊥AB，则有OE=OA=，
∵AB===3，
∴S△OAB=AB•OE=×3×=，
∵∠AOB=180°-2∠A=120°，
∴S扇形OAB==3π，
则S阴影=S扇形OAB-S△AOB=3π-．