中考数学复习之线段和差最值问题之对称

中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称

对称问题，指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型，包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等.

1.将军饮马问题

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．

作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB

当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）

作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．

2.二次对称问题

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP’’，当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小．

3.过河修桥问题

已知人在图中点A村庄，现要过河去往B村，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．

问题化为求A'N+NB最小值，显然，当A'、N、B共线时，AM+MN+BN的值最小，并得出桥应建的位置．

【问题扩展1】

已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．

AP平移至A'Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．

当A'、Q、M、B’共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．

【问题扩展1】

如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？

已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？

【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．

构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线．

练习题

1.如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．

2.   如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________．

3.如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为　　

A． B．， C．， D．

4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

5.如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．

6.   如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　　

A．3 B．4 C． D．

8.如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　　

A． B．2 C． D．4

9.如图，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是　　

A．6 B． C． D．4.5

10.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是　　

A． B． C． D．

11.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为　　

A． B． C． D．

12.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为　　

A． B． C． D．

13.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是　　

A． B． C．6 D．3

14. 如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为　 　    ．

15. 如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为____________．

16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．

17.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值．

18. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3， )，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为___________．

19.如图，∠ AOB=30 °，点 M、 N 分别在边 OA、OB上，且 OM=1 ，ON=3，点 P、Q分别在边 OB、OA上，则 MP+PQ+QN的最小值 _________

20.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两动点，且PQ=2，则当BP=___时，四边形APQE的周长最小．

21.如图在河的两侧有两个村庄，A离河为60米，B离河是30米，AB的水平距离为120米，河的宽度为30米，问桥修在何处会使得从A经过桥到B的路程最小，最小值为多少？

参考答案

1.8    2.6   3.C    4.B     5.       6.      7.C      8.C      9.C     10.B

11.A    12.B    13.D     14.      15.    16.    17.5   18.

19.    20.    21.180