2020年江西省赣州市高三第二次模拟考试文科数学卷及答案

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1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，集合B＝{x|x=n，n∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A＝{0，1，2，3，4}，
集合B＝{x|x=n，n∈A}＝{0，1，2，3，2}，
∴A∩B＝{0，1，2}．
故选：D．
2．已知m，n∈R，i是关于x的方程，x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】i是关于x的实系数方程，x2+mx+n＝0的一个根，﹣i也是关于x的实系数方程，x2+mx+n＝0的一个根，利用根与系数的关系即可得出．
解：i是关于x的实系数方程，x2+mx+n＝0的一个根，
∴﹣i也是关于x的实系数方程，x2+mx+n＝0的一个根，
∴﹣m＝﹣i+i＝0，n＝﹣i•i＝1．
∴m＝0．
则m+n＝1．
故选：C．
3．从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的第1行与第2行）
A．24B．36C．46D．47
【分析】由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，依次选取相应的个体，就可得出答案．
解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24．
故选：A．
4．若cs78°＝m，则sin（﹣51°）＝（ ）
A．-m+12B．-1-m2C．m+12D．1-m2
【分析】由已知利用诱导公式可得cs102°＝﹣m，利用二倍角的余弦函数公式可求sin51°=1+m2，进而根据诱导公式化简所求即可求解sin（﹣51°）的值．
解：∵cs78°＝m，
∴cs（180°﹣78°）＝cs102°＝﹣cs78°＝﹣m，可得1﹣2sin251°＝cs102°＝﹣m，
∴sin251°=1+m2，解得：sin51°=1+m2，
∴sin（﹣51°）=-1+m2．
故选：A．
5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，则f（0）+f（1）+…+f（2020）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2020
【分析】根据题意，分析可得f（﹣x）+f（2+x）＝0，结合函数的奇偶性可得f（x+2）＝﹣f（x），进而可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，进而分析可得f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝0，结合函数的周期性分析可得f（0）+f（1）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]×505+f（2020）＝f（0），即可得答案．
解：根据题意，f（x）满足f（1﹣x）＝﹣f（1+x），即函数f（x）图象关于点（1，0）对称，则有f（x+2）＝﹣f（﹣x），
又由f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即有f（x+2）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，
f（0）＝1，则f（2）＝﹣f（0）＝﹣1，f（1）+f（3）＝0，
则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝0，
则f（0）+f（1）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]×505+f（2020）＝f（0）＝1；
故选：C．
6．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是an=an-1+an-2(n≥3，n∈N*)，其中，a1＝1，a2＝1．若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（ ）
A．13B．23C．12D．34
【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有二个奇数，即可得出结论．
解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，
可得：每三个数中有2个奇数，
可得：从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为：
P=80120=23．
故选：B．
7．函数f(x)=sinx⋅ln(x2+1-x)的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，由排除法分析：由函数的解析式求出f（﹣x），分析可得可得f（x）为偶函数，排除AC，进而分析可得在区间（0，π）上，有f（x）＜0，排除D，据此分析可得答案．
解：根据题意，f(x)=sinx⋅ln(x2+1-x)，则f（﹣x）＝sin（﹣x）•ln（x2+1+x）＝sinx•ln（x2+1-x）＝f（x），
即函数f（x）为偶函数，排除A、B，
f(x)=sinx⋅ln(x2+1-x)=sinx•ln（1x2+1+x），在区间（0，π）上，sinx＞0，ln（1x2+1+x）＜0，则f（x）＜0，排除D；
故选：C．
8．圆x2+y2﹣4y﹣4＝0上恰有两点到直线x﹣y+a＝0（a＞0）的距离为2，则a的取值范围是（ ）
A．（4，8）B．[4，8）C．（0，4）D．（0，4]
【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心以及半径，进而可得求出圆心到直线x﹣y+a＝0的距离，结合直线与圆的位置关系可得22-2＜d＜22+2，变形可得：2＜|a﹣2|＜6，解可得a的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，圆x2+y2﹣4y﹣4＝0即圆x2+（y﹣2）2＝8，其圆心为（0，2），半径r＝22，
圆心到直线x﹣y+a＝0的距离d=|0-2+a|1+1=|a-2|2，
若圆x2+y2﹣4y﹣4＝0上恰有两点到直线x﹣y+a＝0的距离为2，则有22-2＜d＜22+2，即2＜|a-2|2＜32，
变形可得：2＜|a﹣2|＜6，
解可得：﹣4＜a＜0或4＜a＜8，
又由a＞0，则4＜a＜8，即a的取值范围为（4，8）；
故选：A．
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b(sinB-2sinC)=(a+c)(sinA-sinC)，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】利用正弦定理化简已知等式，利用余弦定理即可得出csA，结合A的范围可求A的值，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解．
解：（1）由a=2，b(sinB-2sinC)=(a+c)(sinA-sinC)，
可得b（b-2c）＝（a+c）（a﹣c），
化为b2+c2﹣a2=2bc，
∴csA=b2+c2-a22bc=22，
又A∈（0，π），
∴A=π4，
设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R=asinA=222=2，可得R＝1，
∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝π．
故选：A．
10．某锥体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．2B．533C．433D．233
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
解：由题意，几何体是一个四棱锥，如图P﹣ABCD，其中，PDC是正三角形，边长为2，侧面ABCD是正方形，AB＝2，底面ABCD与平面PCD垂直，
所以几何体的体积为：13×2×2×32×2=433．
故选：C．
11．已知平面向量a→，b→的夹角为θ，且|a→|=2，|b→|=1，若对任意的正实数λ，|a→-λb→|的最小值为3，则csθ＝（ ）
A．22B．12C．±12D．0
【分析】根据题意，分析可得|a→-λb→|2的最小值为3，由数量积的计算公式可得|a→-λb→|2=a→2+λ2b→2﹣2λa→•b→=4+λ2﹣4λcsθ＝（λ﹣2csθ）2+4﹣4cs2θ，分析可得：当λ＝2csθ时，|a→-λb→|2取得最小值3，据此可得csθ＝±12，又由λ＞0，即可得答案．
解：根据题意，|a→|=2，|b→|=1，a→，b→的夹角为θ，则a→•b→=2csθ，
若对任意的正实数λ，|a→-λb→|的最小值为3，则|a→-λb→|2的最小值为3，
则|a→-λb→|2=a→2+λ2b→2﹣2λa→•b→=4+λ2﹣4λcsθ＝（λ﹣2csθ）2+4﹣4cs2θ，
分析可得：当λ＝2csθ时，|a→-λb→|2取得最小值3，
即有4﹣4cs2θ＝3，即csθ＝±12，
又由λ＞0，则csθ=12，
故选：B．
12．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±3x，过右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两点且AF→=3FB→，则直线l的斜率为（ ）
A．±3B．±15C．±1D．±5
【分析】由渐近线方程可得b=3a，c＝2a，双曲线的方程即为3x2﹣y2＝3a2，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，设直线l的方程为x＝my+c，即x＝my+2a，联立双曲线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，化简整理可得m的方程，解方程，即可得到所求直线的斜率．
解：双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±3x，可得b=3a，c＝2a，
双曲线的方程即为3x2﹣y2＝3a2，
由AF→=3FB→，可得A，F，B三点共线，且A，B均在双曲线的右支上，
设A，B的纵坐标分别为y1，y2，可得﹣y1＝3y2，①
可设直线l的方程为x＝my+c，即x＝my+2a，
联立双曲线的方程3x2﹣y2＝3a2，可得（3m2﹣1）y2+12amy+9a2＝0，
可得y1+y2=-12am3m2-1，y1y2=9a23m2-1，②
联立①②可得﹣3•36a2m2(3m2-1)2=9a23m2-1，
化为15m2＝1，解得m＝±1515，
则直线l的斜率为±15．
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量a→=(3，1)，b→=(-1，2)，且(a→+mb→)∥(a→-b→)，则实数m＝ ﹣1 ．
【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得a→+mb→、a→-b→的坐标，进而由向量平行的坐标表示公式可得（3﹣m）×（﹣1）＝（1+2m）×4，解可得m的值，即可得答案．
解：根据题意，向量a→=(3，1)，b→=(-1，2)，
则a→+mb→=（3﹣m，1+2m），a→-b→=（4，﹣1），
若(a→+mb→)∥(a→-b→)，则有（3﹣m）×（﹣1）＝（1+2m）×4，
解可得：m＝﹣1；
故答案为：﹣1
14．若x，y满足约束条件2x-y+1≥0x+2y-2≤0x-3y-2≤0，则z＝x+y的最小值为 ﹣2 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解：由x，y满足约束条件2x-y+1≥0x+2y-2≤0x-3y-2≤0作出可行域如图，
联立 2x-y+1=0x-3y-2=0，解得A（﹣1，﹣1），
化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，
由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
15．已知函数f（x）＝﹣xlnx+（2﹣f′（e））x﹣3，则f（x）在x＝1处的切线方程为 x﹣y﹣2＝0 ．
【分析】先解方程求出f′（e），然后求出导数，再求出切点处的函数值、导数值，利用点斜式写出切线方程．
解：f′（x）＝﹣lnx+1﹣f′（e），
∴f′（e）＝﹣lne+1﹣f′（e），∴f′（e）＝0．
∴f（x）＝﹣xlnx+2x﹣3，f′（x）＝﹣lnx+1，
故切点为（1，﹣1），k＝f′（1）＝1，
故切线为：y+1＝x﹣1，
即x﹣y﹣2＝0．
故答案为：x﹣y﹣2＝0．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，P分别为B1C1，C1D1，CD的中点，Q点是正方形BCC1B1内的动点．若PQ∥平面AEF，则Q点的轨迹长度为 136 ．
【分析】连接EF交A1D1的延长线于点G，连接AG，交DD1于点M，延长EF交A1B1的延长线与点H，连接AH交BB1于点N，连接EN，MF，可得五边形ANEFM即为平面AEF截正方体的截面，数形结合得到平面PRS∥平面AEF，又平面PRS∩平面BCC1B1＝RS＝NE，易得M，N分别为DD1和BB1的三等分点，则NE=(12)2+(13)2=136，故可得答案．
解：如图，连接EF交A1D1的延长线于点G，连接AG，交DD1于点M，
延长EF交A1B1的延长线与点H，连接AH交BB1于点N，连接EN，MF，
则五边形ANEFM即为平面AEF截正方体的截面，
易得M，N分别为DD1和BB1的三等分点，则NE=(12)2+(13)2=136，
取BC中点R，CC1上靠近C点的三等分点S，
易得PR∥EF，RS∥NE，RS＝NE，
所以平面PRS∥平面AEF，
因为平面PRS∩平面BCC1B1＝RS，
所以Q在线段RS上，RS=136，
故答案为：136．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝9，a1+2a3＝a9．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=an⋅(2n+1)，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的求和公式和通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得bn=an⋅(2n+1)=（n+1）•2n+（n+1），运用数列的分组求和，以及错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由S3＝9，可得3a1+12×3×2d＝9，即a1+d＝3，
a1+2a3＝a9，即3a1+4d＝a1+8d，即a1＝2d，
解得a1＝2，d＝1，则an＝2+n﹣1＝n+1，n∈N*；
（2）bn=an⋅(2n+1)=（n+1）•2n+（n+1），
则前n项和Tn＝2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n+12（n+3）n，
设Mn＝2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，
2Mn＝2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，
两式相减可得﹣Mn＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1
＝2+2(1-2n)1-2-（n+1）•2n+1，
化简可得Mn＝n•2n+1，
所以Tn＝n•2n+1+12（n+3）n．
18．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如表：
（1）根据2015﹣2019年的数据，求出y关于x的线性回归方程.y=b̂x+â，并预测到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；
（2）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户．该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况．为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户不都是扶贫户的概率．
参考公式：b̂=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，â=y-b̂x．
【分析】（1）由已知求得b̂与â的值，可得y关于x的线性回归方程，取x＝6求得y值，即可得到2020年一年内该乡镇脱贫的贫困户脱，再求出6年内脱贫的总户数，即可得到
2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；
（2）按分层抽样抽取的5户贫困户中，有1户五保户a，1户低保户b，3户扶贫户c，d，e，利用枚举法得到从这5户中任选2户的情况总数，得到2户不都是扶贫户的户数，再由古典概型概率计算公式及互斥事件的概率求解．
解：（1）i=15 xiyi=1×55+2×68+3×80+4×92+5×100=1299，
x=3，y=55+68+80+92+1005=3955=79，
i=15 xi2=1+4+9+16+25=55．
b̂=1299-5×3×7955-5×32=11410=11.4，â=y-b̂x=79-11.4×3=44.8．
∴y关于x的线性回归方程为ŷ=11.4x+44.8．
当x＝6时，ŷ=11.4×6+44.8=113.2．
即预测2020年一年内该乡镇有113户贫困户脱贫．
∴预测6年内该乡镇脱贫总户数有55+68+80+92+100+113＝508＞500．
即预测到2020年底该乡镇500户贫困户能全部脱贫；
（2）由题意可得：按分层抽样抽取的5户贫困户中．
有1户五保户a，1户低保户b，3户扶贫户c，d，e．
从这5户中任选2户，共有10种情况：
（ab），（ac），（ad），（ae），（bc），（bd），（be），（cd），（ce），（de），
记2户不都是扶贫户为事件A，则事件A共有3种情况：（cd），（ce），（de）．
∴P（A）=310，则P（A）＝1-310=710．
故抽取的2户不都是扶贫户的概率为710．
19．已知三棱锥P﹣ABC，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，M是线段AB上靠近B点的三等分点，三角形PBC为等边三角形．
（1）求证：BC⊥PM；
（2）若三棱锥P﹣ABC的体积为53，求线段PM的长度．
【分析】（1）取BC的中点D，连结DM，推导出AB＝23，BM=13AB=233，由余弦定理得DM=33，推导出BD⊥DM，PD⊥BC，从而BC⊥平面PDM，由此能证明BC⊥PM．
（2）由BC⊥平面PDM，得平面ABC⊥平面PDM，作PN⊥DM，垂足为N，平面ABC∩平面PDM＝DM，则PN⊥平面ABC，PN为三棱锥P﹣ABC的高，由等体积法求出PN=153，利用余弦定理能求出线段PM的长度．
解：（1）证明：取BC的中点D，连结DM，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，
∴AB=4+4-2×2×2×cs120°=23，∴BM=13AB=233，
在△BDM中，∠DBM＝30°，由余弦定理得：
DM=BD2+BM2-2×BD×BM×cs30°=33，
∴BD2+DM2＝BM2，∴BD⊥DM，
∵△PBC是等边三角形，D为BC的中点，∴PD⊥BC，
∴BC⊥平面PDM，
∵PM⊂平面PDM，∴BC⊥PM．
（2）解：由（1）知BC⊥平面PDM，
BC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面PDM，
作PN⊥DM，垂足为N，平面ABC∩平面PDM＝DM，则PN⊥平面ABC，
PN为三棱锥P﹣ABC的高，
由VP-ABC=13S△ABC⋅PN=13×12×2×2×sin120°×PN=53，
解得PN=153，
在等边△PBC中，BC＝2，则PD=3，
在Rt△PDN中，sin∠PDM=PNPD=53，∴cs∠PDM=23，
∴△PDM中，PM=DM2+PD2-2×DM×PD×cs∠PDM=2．
∴三棱锥P﹣ABC的体积为53时，线段PM的长度为2．
20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，且椭圆C经过点P(1，32)．抛物线E：y2＝2px（p＞0）与椭圆有公共的焦点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，使得过M的动直线l交抛物线E于A，B两点，等式1|MA|2+1|MB|2=14恒成立，如果存在试求出定点M的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，c，进而得到抛物线的焦点，可得p的值，抛物线的方程可得；
（2）在x轴上假设存在定点M，满足条件，可设M（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），假设直线l的方程设为x＝my+t，代入抛物线的方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，结合恒成立思想，可得t的方程组，解方程可得所求M的坐标．
解：（1）由题意可得e=ca=12，1a2+94b2=1，a2﹣b2＝c2，
解得a＝2，b=3，c＝1，则椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），
则p2=1，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x；
（2）在x轴上假设存在定点M，使得过M的动直线l交抛物线E于A，B两点，等式1|MA|2+1|MB|2=14恒成立．
设M（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
假设直线l的方程设为x＝my+t，代入抛物线的方程y2＝4x，
可得y2﹣4my﹣4t＝0，△＝16m2+16t＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
|MA|2＝（x1﹣t）2+y12＝（m2+1）y12，|MB|2＝（m2+1）y22，
则1|MA|2+1|MB|2=1m2+1（1y12+1y22）=1m2+1•y12+y22(y1y2)2=11+m2•(y1+y2)2-2y1y2(y1y2)2=11+m2•16m2+8t16t2=14，
整理可得m2（t2﹣4）+t2﹣2t＝0，由该式对任意的m∈一、选择题恒成立，
所以t2﹣4＝0，且t2﹣2t＝0，可得t＝2，
即存在点M（2，0）．
21．已知函数f(x)=(x+a-a2lnx)⋅lnx-2x(a∈R)．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若0＜a＜2，求证：f（ea）+2＜a（a﹣1）．
【分析】（1）函数的定义域为（0，+∞），求导可得f'(x)=(x-a)(lnx-1)x，先分a≤0和a＞0两大类，再在a＞0的情形下，分a＝e、a＞e和0＜a＜e三种情形逐一判断f'（x）的正负性，从而得函数f（x）的单调性；
（2）先作差并化简得，f（ea）+2﹣a（a﹣1）=(a-2)(ea-1-a-a22)，由于0＜a＜2，所以只需要判断ea-1-a-a22的符号即可，于是令g(a)=ea-1-a-a22，求导g'（a），再令h（a）＝g'（a），再求导h'（a），有h'（a）＞0，因此h（a）在（0，2）上单调递增，依此，逐层回推，可得g（a）＞g（0）＝0，即ea-1-a-a22＞0，所以(a-2)(ea-1-a-a22)＜0，于是命题得证．
解：（1）定义域为（0，+∞），f'(x)=1x(x+a-a2lnx)+(1-a2x)lnx-2=(x-a)(lnx-1)x，
若a≤0，则f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增；
若a＞0，当a＝e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞e时，f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增；
当0＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增．
综上所述，
①当a≤0时，f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增；
②当a＝e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞e时，f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增；
④当0＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增．
（2）f(ea)+2-a(a-1)=a(ea-a22+a)-2ea-(a-2)(a+1)=(a-2)(ea-1-a-a22)，
令g(a)=ea-1-a-a22，则g'（a）＝ea﹣1﹣a，
令h（a）＝g'（a）＝ea﹣1﹣a，则h'（a）＝ea﹣1，
∵0＜a＜2，∴h'（a）＞0，h（a）在（0，2）上单调递增，h（a）＞h（0）＝0，
∴g'（a）＞0，g（a）在（0，2）上单调递增，g（a）＞g（0）＝0，
∴ea-1-a-a22＞0，
而a﹣2＜0，
∴f（ea）+2﹣a（a﹣1）＜0，
∴f（ea）+2＜a（a﹣1）．
（二）选考题请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+22ty=22t（t为参数），曲线C2的参数方程为x=3csθy=tanθ（θ为参数）．
（1）求曲线C1，C2的普通方程
（2）已知点M（﹣2，0），若曲线C1，C2交于A，B两点，求||MA|﹣|MB||的值．
【分析】（1）直接把直线的参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，利用同角三角函数基本关系式消去曲线C2的参数方程中的参数θ，可得曲线C2的普通方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线C2的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用双曲线定义转化后结合根与系数的关系求解||MA|﹣|MB||的值．
解：（1）由x=2+22ty=22t（t为参数），消去参数t，可得曲线C1的普通方程为x﹣y﹣2＝0；
由x=3csθy=tanθ（θ为参数），得x23=1cs2θ=1+tan2θy2=tan2θ，
则曲线C2的普通方程为x23-y2=1；
（2）由x23-y2=1可知M（﹣2，0）为左焦点，直线x﹣y﹣2＝0过右焦点N（2，0），
又直线的斜率kAB＝1＞33（一条渐近线的斜率），
∴点A、B在双曲线的右支．
∴|MA|﹣|MB|＝（|NA|+2a）﹣（|NB|+2a）＝|NA|﹣|NB|．
令点A，B对应的参数分别为t1，t2，
把x=2+22ty=22t代入x23-y2=1，可得t2-22t-1=0．
则t1+t2=22，t1t2＝﹣1．
∴||MA|﹣|MB||＝||NA|﹣|NB||=|t1+t2|=22．
[选修4-5不等式选讲]
23．已知正实数a，b满足a+b＝4．
（1）求1a+4b的最小值．
（2）证明：(a+1a)2+(b+1b)2≥252．
【分析】（1）由已知可得，1a+4b=14（1a+4b）（a+b），展开后利用基本不等式可求；
（2）由1a+1b=14(a+b)(1a+1b)，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（a+1a）2+（b+1b）2≥(a+b+1a+1b)22即可证明．
解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝4，
∴1a+4b=14（1a+4b）（a+b）=14(5+ba+4ab)≥14(5+2ba⋅4ab)=94，
当且仅当ba=4ab且a+b＝4即a=43，b=83时取得最小值94；
（2）证明：∵a+b＝4，
∴1a+1b=14(a+b)(1a+1b)=14(ba+ab+2)≥14(2+2)=1，
∴(4+1a+1b)22≥(4+1)22=252，
∴（a+1a）2+（b+1b）2≥(a+b+1a+1b)22=(4+1a+1b)22≥252（当且仅当a＝b＝2时取等号）

0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x
1
2
3
4
5
脱贫户数y
55
68
80
92
100