期中复习模拟试题 (十)-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

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   2020—2021学年高一数学下学期期中复习试题    满分： 100分            时间：  60分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。1.过 所在平面 外一点 ，作 ，垂足为 ，连接 ， ， ，则下列结论错误的是（    ）            A. 若 ， ，则点 是 的中点
B. 若 ，则点 是 的外心
C. 若 ， ， ，则点 是 的垂心
D. 若 ， ， ，则四面体 外接球的表面积为 2.已知 中， ， ， ，则 与 的夹角是（    ）            A.                                         B.                                         C.                                         D. 3.一平面四边形 的直观图 如图所示，其中 ， ， ，则四边形 的面积为（    ）  A.                                        B.                                        C. 3                                       D. 4.已知复数 ( 为虚数单位)，则 （    ）            A.                                          B. 2.                                         C.                                          D. 1  5.在 中，D、P分别为 、 的中点，且 ，则 （    ）            A.                                        B.                                        C.                                        D. 6.已知两个非零向量 , 满足 ,则(    )            A.                 B.                 C.                 D. 7.已知向量 =(1，2)， =(m，m+3)，若     ，则m=（    ）            A. -7                                          B. -3                                          C. 3                                          D. 7  8.一艘船以40海里 小时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东 ，0.5小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东 ，则灯塔S与B之间的距离是（    ）  A. 5海里                             B. 10海里                               C.  海里                             D.  海里  9.已知复数 ，则“ ”是“ 为纯虚数”的（    ）            A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件10.三棱锥 中， ，且 ，侧面 为正三角形.若三棱锥 的体积 ，则线段 长度的取值范围是（    ）  A.                                   B.                                   C.                                   D. 11.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径的比为（    ）  A.                              B.                              C.                              D. 12.设 、 、 为平面， 、 为直线，给出下列条件：  ① ， ， ， ② ， ③ ， ④ ， ， 其中能推出 的条件是（    ）.A. ①②                                     B. ②③                                     C. ②④                                     D. ③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共40分）二、填空题：本题共计4小题，共计16分。13.给出下列命题：  ①如果a，b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b的任何平面；②如果直线a和平面α满足a//α，那么直线a与平面α内的任何直线都平行；③如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b．其中错误命题的序号是________．14.如下图所示,梯形 是水平放置的平面图形 的直观图(斜二测画法),若 , , , ,则四边形 的面积是________.  15.已知向量 、 ，且 ， ， ，则A、B、 、 四点中一定共线的三点是________.    16.已知平面向量 ， （ ， ）满足 ，且 与 的夹角为 ，则 的最大值是________.     三、解答题：本题共计4小题，共计24分。17.已知向量 ， ，且 .    （1）若 ，求 的值；    （2）若 ，求 的值.     18.已知复数 ，其中 为虚数单位.    （1）若复数 是实数，求实数 的值；    （2）若复数 是纯虚数，求实数 的值.   19.某种水箱用的“浮球”是由两个相同半球和一个圆柱筒组成，它的轴截面如图所示，已知半球的直径是 ，圆柱筒高 ，为增强该“浮球”的牢固性，给“浮球”内置一“双蝶形”防压卡，防压卡由金属材料杆 , , , , , 及 焊接而成，其中 , 分别是圆柱上下底面的圆心， ， ， ， 均在“浮球”的内壁上，AC，BD通过“浮球”中心 ，且 、 均与圆柱的底面垂直．  （1）设 与圆柱底面所成的角为 ，试用 表示出防压卡中四边形 的面积 ，并写出 的取值范围；    （2）研究表明，四边形 的面积越大，“浮球”防压性越强，求四边形 面积取最大值时，点 到圆柱上底面的距离 ．     20.如图，在三棱锥 中， 底面 ， ，且SA=AB，点M是 的中点，AN⊥SC且交SC于点N.（1）求证： 平面 ；    （2）当 时，求三棱锥 的体积.   
答案解析一、单选题1.【答案】 D   【解析】解：过三角形ABC所在平面外的一点P，作PO⊥平面α，垂足为O，连PA、PB、PC， 对于A、B选项，若PA=PB=PC，连接OA，OB，OC，则OA=OB=OC，则O为三角形ABC的外心；
又∠C=90°，则O为AB的中点．A、B符合题意；对于C选项，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，则PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而BC⊥AO，同理AB⊥CO，AC⊥BO，故O为三角形的垂心，C符合题意；对于D选项，由 ， ， ，
知四面体 对棱相等，要求四面体 外接球的表面积，
即求以该四面体的棱作为面对角线的长方体的外接球的表面积，
设长方体的棱长为 ，则 ,所以长方体的体对角线为 ，故 ，∴四面体 外接球的表面积为 ，D不符合题意.故答案为：D.2.【答案】 D   【解析】 ， ， 所以， ， ，则 ，因此， 与 的夹角是 .故答案为：D.3.【答案】 B   【解析】 ， ，  ,  四边形 , ,解得： .故答案为：B4.【答案】 A   【解析】因为 ，所以 . 故答案为：A.5.【答案】 C   【解析】解：已知D、P分别为 、 的中点， 由向量的加减法运算，得 ， ， ，又 ，则 ，则 .故答案为：C.6.【答案】 C   【解析】由题，得 ，即 ， ，则 ， 所以 .故答案为：C.7.【答案】 C   【解析】由于 ，所以 ，解得 . 故答案为：C8.【答案】 D   【解析】如图所示， ， 由于   可解得： ，由正弦定理得： ，即 ，解得： .故答案为：D 9.【答案】 A   【解析】复数 为纯虚数，则 ，且 ，解得 ，所以“ ” 是“ 为纯虚数”的充分不必要条件.故答案为：A.10.【答案】 D   【解析】设 是 中点，连接 ， 因为 ， ，所以 ，又 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，过 作 于O，则 平面 ，显然 ，由已知 ， ， ， ， ，所以 ，即 ，记 ，则 ， ，若 在线段 上，如下图，则 ， ，因为 ，所以 ， ，若O在线段 的延长线上，如下图，则 ， ，因为 ，所以 ， 综上 ．故答案为：D．11.【答案】 A   【解析】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为 ，则底面正边形的边长为 ， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，所以侧棱长为 ，所以侧棱与底面外接圆半径的比为 .故答案为：A 
12.【答案】 C   【解析】①有如下反例： 故，不能推出 ②面面平行的判定：平行于同一个平面的两个平面平行，能推出 ③有如下反例：故，不能推出 ④面面平行的推论：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行，能推出 故答案为：C二、填空题13.【答案】 （1）（2）（3）   【解析】（1）如果a，b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b的任何平面.不正确，a，b可能在同一个平面内；（2）如果直线a和平面α满足a//α，那么直线a与平面α内的任何直线都平行.不正确，直线a与平面α内的直线可能平行，也可能异面；（3）如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b．不正确，a，b的位置关系为：平行、相交或异面. 故答案为：（1）（2）（3）.14.【答案】 5   【解析】由直观图知，四边形ABCD中，AB CD, ,因为 ，所以 ，且 ,根据梯形面积公式 ，故填5. 15.【答案】 A,B,C   【解析】 则 三点共线故答案为： 16.【答案】    【解析】解：如图， 数形结合知 , , ,点C在圆弧长运动，设 ，由正弦整理可得： ，可得 ，故 的最大值是 ，故答案为： .三、解答题17.【答案】 （1）解：因为 ， ， ，所以 ，即 ；   因为 ，所以 ，所以 .
（2）解：因为 ， ，所以 ,   因为 ，所以 ，整理得 ，因为 ，所以 .【解析】（1）利用 可求 ，从而可得 ，然后可求 ；（2）利用 可得 ，结合平方关系可求 .18.【答案】 （1）解：若复数 是实数，则     所以 或 .
（2）解：若复数 是纯虚数，则     所以 .【解析】（1）利用复数z为实数的判断方法，进而解一元二次方程求出m的值。
（2）利用复数z为纯虚数的判断方法，进而解一元二次方程求出m的值  19.【答案】 （1）解：因为 分别是圆柱上、下底面的圆心,所以 与圆柱的底面垂直；   因为 与圆柱的底面垂直,所以 ；在梯形 中,   ,   , 设梯形的高 ；所以梯形 的面积为   其中 的取值范围是 ；
（2）解：由（1）得 ,   ,令 ,解得   或 （不合题意,舍去）；又 ,所以   ；列表如下；所以当 时,  取得极大值,即是最大值,此时 ；所以四边形 面积取最大值时,点 到圆柱上底面的距离为 ．【解析】（1）先证明 ，又因为 ，则四边形 是梯形，用 与圆柱底面所成的角 来表示梯形的上底、下底和高，根据梯形面积公式即可求得四边形 面积；（2）由（1）得四边形 面积的解析式 ，对函数 求导，判断单调性，求出极值点，由此得出点 到圆柱上底面的距离 .20.【答案】 （1）解: 底面 , 面 ,又因为 是 的中点, 面 由已知 平面 .
（2）解: 平面 , 平面 ,而 ,又 又 平面 而  
   【解析】（1）掌握线面关系的基本性质，平面内的一条直线与平面外的一条直线垂直，这条直线与平面垂直。即在平面AMN中找到一条直线AM，即可得出答案。
（2）由（1）知平面  ， 根据题目所给条件得到直线AN,AM,MN，SN,结合三棱锥体积公式,得到底面三角形AMN的面积,SN即为棱锥的高，代入数据，即可得出答案。