期中复习模拟试题（八）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

这是一份期中复习模拟试题（八）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析），共9页。
单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.已知复数 2+aii=4−bi,a,b∈R ，则 a+b= （ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. 6
2.已知 i 是虚数单位，则复数 z=2−i20202+i2021 对应的点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45° ，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A. 12+22 B. 2+2 C. 1+2 D. 1+22
4.已知平面 α// 平面 β ， P 是 α 、 β 外一点，过点 P 的直线 m 与 α 、 β 分别交于点 A 、 C ，过点 P 的直线 n 与 α 、 β 分别交于点 B 、 D ，且 PA=6 ， AC=9 ， PD=8 ，则 BD 的长为（ ）
A. 16 B. 24 或 245 C. 14 D. 20
5.设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 m//α ， n⊂α ，则 m//n B. 若 m⊂α ， n⊂β ， α⊥β ，则 m⊥n
C. 若 m//n ， n⊥β ，则 m⊥β D. 若 m⊥β ， α⊥β ，则 m//α
6.在 △ABC 中，点D为 AC 的中点，点E在线段 BC 上，且 BC=3BE ，则 DE= （ ）
A. 56AC+23AB B. −16AC+23AB C. 56AC+AB D. −56AC+43AB
7.设向量 a 与 b 的夹角为θ， a=(2,1) ， a+3b=(5,4) ，则 sinθ 等于（ ）
A. 1010 B. 13 C. 31010 D. 45
8.《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面 ABDA' 是铅垂面，下宽 AA'=3m ，上宽 BD=4m ，深 3m ，平面BDEC是水平面，末端宽 CE=5m ，无深，长 6m （直线 CE 到 BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）
A. 24m3 B. 30m3 C. 36m3 D. 42m3
9.如图，在正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点 M,N 分别在 A1B1,D1C1 上，且 A1M=D1N=1 .过点 M,N 的平面 α 与此四棱台的下底面会相交，则平面 α 与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为（ ）
A. 187 B. 302 C. 661 D. 363
10.设 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，如果 (a+b+c)(b+c−a)=3bc ，且 a=3 ，那么 △ABC 的外接圆半径为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 1
11.关于直线 m ， n ， l 及平面 α ， β，λ ，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 m⊥l ， n⊥l ，则 m//n B. 若 m⊂α ， n⊂α ， l⊥m ， l⊥n ，则 l⊥α
C. 若 α⊥λ ， β⊥λ ，则 α//β D. 若 m⊥α ， m//β ，则 α⊥β
12.已知复数z满足 2z−34−z=i ，则 |z|= （ ）
A. 5 B. 5 C. 2 D. 4
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.在复平面内，复数 z=2i 对应的点为 Z ，将向量 OZ 绕原点 O 按逆时针方向旋转 π3 ，所得向量对应的复数是________.
14.已知三个不同平面 α 、 β 、 γ 和直线 l ，下面有四个命题：
①若 α⊥γ ， β⊥γ ， α∩β=l ，则 l⊥γ ；②直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等，则 l//α ；③ l⊥α ， l//β ，则 α⊥β ；④若直线 l 不在平面 α 内， α//β ， l//α ，则 l//β .则正确命题的序号为________．
15.已知向量 a 与向量 b 夹角为 60° ，且 |a|=1 ， b=(3,4) ，要使 2a+λb 与 a 垂直，则 λ= ________．
16.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 3(b1+b2)=2b1+b1+b2+b3 ， 点M是棱AD的中点，N在棱 AA1 上，且满足 n=1 ， P 是侧面四边形 ADD1A1 内一动点(含边界)，若 C1P ∥平面CMN，则线段 C1P 长度最小值是________.
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.如图，梯形 ABCD 中， BC//AD ，E是 PD 的中点，过 BC 和点E的平面与 PA 交于点F.求证： BC//EF .
18.已知 |a|=4 ， |b|=8 ， a 与 b 的夹角是 60∘ ，计算：
（1）(2a+b)⋅(2a−b) ；
（2）|4a−2b| .
19.已知i是虚数单位，复数 z1=1+i ， z2=1−i ， z=z1z2−1 ．
（1）判断z是否为纯虚数，并说明理由；
（2）求 C1001⋅z+C1002⋅z2+C1003⋅z3+⋯+C100100⋅z100 的值．
20.现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b.假设 a≠b ，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与 a,b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.
答案解析
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】解：因为 2+aii=4−bi ，所以 2+ai=(4−bi)i ，所以 2+ai=b+4i ，所以 {a=4b=2
所以 a+b=6 ．
故答案为：D
2.【答案】 D
【解析】】 z=2−i20202+i2021=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5 .
所以复数对应的点 (25,−15) 在第四象限，
故答案为：D
3.【答案】 B
【解析】由斜二测画法的原则可得：原平面图形为直角梯形，
因为直观图中，腰和上底边均为1
所以原图形的上底长度为 1 ，下底为 BC+2AB⋅cs45∘=1+2 ，直角腰长为 2 ，
因此，这个平面图形的面积是 S=12×(1+1+2)×2=2+2 .
故答案为：B
4.【答案】 B
【解析】∵ PC∩PD=P ，
∴直线 PC 和 PD 可确定一个平面 PCD ，
则平面 PCD∩α=AB ，平面 PCD∩β=CD ，
又 α//β ，∴ AB//CD ；
当点 P 位于平面 α ， β 同侧时，如图（1），
则 ACPC=BDPD ，∴ 915=BD8 ，∴ BD=245 ；
当点 P 位于平面 α ， β 之间时，如图（2），
则 PC=3 ， PDBD=PCAC ，
∴ 8BD=39 ，∴ BD=24 .
故 CD=245 或 CD=24 .
故答案为：B.
5.【答案】 C
【解析】A，m，n也可能异面，故错误；
B，m，n存在多种位置关系，不一定垂直，故错误；
C，平行线中的一条垂直一个平面．则另一条也垂直该平面，故正确；
D，存在 m⊂α 的情况，故错误．
故答案为：C．
6.【答案】 B
【解析】如图所示：
∵在 △ABC 中，点D为 AC 的中点，点E在线段 BC 上，且 BC=3BE ，
则 DE=DA+AE=−12AC+AB+BE ，
=−12AC+AB+13BC=−12AC+AB+13(AC−AB)
=−16AC+23AB
故答案为：B.
7.【答案】 A
【解析】设 b=(x,y) ，则 a+3b=(2+3x,1+3y)=(5,4)
∴{2+3x=51+3y=4 ，解得： {x=1y=1 ，即 b=(1,1) ，
∴csθ=a⋅b|a||b|=2×1+1×15×2=310 ，，所以 sinθ=1−cs2θ=1010 ．
故答案为：A
8.【答案】 C
【解析】如图，在 BD ， CF 上分别取点 B' ， C' ，使得 BB'=CC'=3m ，连接 A'B' ， A'C' ， B'C' ，
则三棱柱 ABC−A'B'C' 是斜三棱柱，该羡除的体积 V=V 三棱柱 ABC−A'B'C' +V 四棱锥 A'−B'DEC' =(12×3×6)×3+13×(1+22×6)×3=36(m3) .
故答案为：C．
9.【答案】 B
【解析】当斜面α经过点 BCNM 时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8
此时作正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 俯视图如下：
则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5
因为正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 的高为5，所以截面等腰梯形的高为 52+52=52
所以截面面积的最大值为 S=12×(4+8)×52=302
故答案为：B
10.【答案】 D
【解析】 ∵ (a+b+c)(b+c−a)=3bc ， ∴ b2+c2−a2=bc ，
∴ csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12 ，
又 A∈(0,π) ， ∴ A=π3 ， sinA=32 ，
∴ △ABC 的外接圆半径 R 满足 2R=asinA=332=2 即 R=1 .
故答案为：D.
11.【答案】 D
【解析】对于A.，由 m⊥l ， n⊥l ，在同一个平面可得 m//n ，在空间不成立，A不符合题意；
对于B，由线面垂直的判定定理知少相交条件，B不符合题意；
对于C，当三个平面 α ， β ， λ 两两垂直时，显然结论错误，C不符合题意；
对于D，若 m⊥α ， m//β ，则 α⊥β ，D符合题意．
故答案为：D．
12.【答案】 A
【解析】因为复数z满足 2z−34−z=i ， ∴2z−3=i(4−z)
则 z=4i+32+i ，
所以 |z|=|4i+32+i|=|4i+3||2+i|=42+3222+12=55=5 ，
故答案为：A.
二、填空题
13.【答案】 −3+i
【解析】复数 2i 对应的点 Z(0,2) ，如图，
OZ 绕原点 O 按逆时针方向旋转 π3 到 OA 位置， |OA|=|OZ|=2 ， ∠AOZ=π3 ，∴ xA=−2sinπ3=−3 ， yA=2csπ3=1 ，即 A(−3,1) ， A 点对应复数为 −3+i ．
故答案为： −3+i ．
14.【答案】 ①③
【解析】对于命题①，若 α⊥γ ，则存在异于直线 l 的直线 a⊂α ，当 a 垂直于平面 α 与 γ 的交线时， a⊥γ ，又 β⊥γ ，则 a//β ， ∵a⊂α ，且 α∩β=l ， ∴a//l ， ∴l⊥γ ，命题①正确；
对于命题②，直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等，则 l 与 α 平行或相交，命题②错误；
对于命题③，过直线 l 作平面 γ ，使得 γ∩β=b ， ∵l//β ，由直线与平面平行的性质定理可知 b//l ， ∵l⊥α ， ∴b⊥α ，又 ∵b⊂β ， ∴α⊥β ，命题③正确；
对于命题④，若直线 l 不在平面 α 内， α//β ， l//α ，则 l//β 或 l⊂β ，命题④错误.
因此，正确命题的序号为①③.
故答案为：①③.
15.【答案】 −45
【解析】解：因为 2a+λb 与 a 垂直，
则 (2a+λb)⋅a=2a2+λa⋅b=2×1+λ32+42×cs60°=0 ，
解得 λ=−45 .
故答案为： −45 .
16.【答案】 17
【解析】取 A1D1 的中点 Q ,过点 Q 在面 ADD1A1 作 MN 的平行线交 DD1 于 E
则易知面 C1QE// 面 CMN ,在 ΔC1QE 中作 C1P⊥QE ,则 C1P=17 为所求.
三、解答题
17.【答案】 证明：∵ BC//AD ， BC⊄ 平面 PAD ， AD⊂ 平面 PAD ，
∴ BC// 平面 PAD ，
∵ BC⊂ 平面 BCEF ，平面 BCEF∩ 平面 PAD=EF ，
∴ BC//EF
【解析】由题意可得 BC// 平面 PAD ， ∵ BC⊂ 平面 BCEF ，平面BCEF∩ 平面 PAD=EF ， 由线面平行的性质定理可得 BC//EF 。
18.【答案】 （1）解： (2a+b)⋅(2a−b)=4a2−b2=4|a|2−|b|2=4×42−82=0
（2）解： |4a−2b|=2(2a−b)2=24a2−4a⋅b+b2=24|a|2−4|a|⋅|b|cs60∘+|b|2
=24×42−4×4×8×12+82=16 .
【解析】(1)由数量积的运算公式整理化简即可得出答案。
(2)由向量模的定义结合数量积的运算公式代入数值计算出结果即可。

19.【答案】 （1）解： z=1+i1−i−1=−1+i ，不为纯虚数
（2）解： C1001⋅z+C1002⋅z2+C1003⋅z3+⋯+C100100⋅z100
=(z+1)100−1=i100−1=0 ．
【解析】(1)根据题意由复数代数式的运算性质整理化简得出答案。
(2)由组合数公式结合复数的运算性质计算出答案。


20.【答案】 解：1号容器体积为： a2b ；2号容器体积为： b2a ；
3 号容器体积为： a3 ；4号容器体积为： b3
∵a≠b
∴a3+b3−a2b−b2a=(a+b)(a2−ab+b2)−ab(a+b)=(a+b)(a−b)2>0
∴ 存在必胜方案，即选择3号和4号容器
【解析】分别计算出四个容器的体积，可求得 a3+b3−a2b−b2a=(a+b)(a−b)2>0 ，从而得到必胜方案，即选择3号和4号容器.