十字相乘法思维空间的拓展研究

十字相乘法思维空间的拓展研究【摘要】十字相乘法是多项式因式分解的一种重要方法，灵活运用对快捷准确求解二次方程和三次方程有特殊功效。多项式首项系数“化一法”，为十字相乘法分解因式和方程求解提供了更加广阔的空间。【关键字】因式分解；十字相乘法；系数化1；分项还原； 化简；二次方程；三次方程【正文】说起十字相乘法，相信大家都不陌生，它是多项式因式分解的一种，也是因式分解的一个重要方法。如果我们能够熟练地运用十字相乘法，对方程的求解将会有很大的帮助。一、十字相乘法在一元二次多项式中的应用。首先，对于能够运用十字相乘法进行因式分解的多项式而言，如果最高项系数为1，我们做起来就显得比较简便。比如：x-5x+6=(X-2)(x-3)  1      -21      -3而对于系数不为1的多项式且能用十字相乘法进行因式分解的，我们做起来就显得有点复杂。这是因为我们要考虑到对两个整式进行合理分解。如果系数小，还比较容易。反之系数较大，那么难度必然加大。比如：2x-11x+12=(x-4)(2x-3)1         42         3比如：6x-23x+21=（2x-3)(3x-7) 这个题目就有点难了，但也能通过多次尝试来解决。2        3-3       -7那么，对于能用十字相乘法分解的多项式，能不能考虑把首项的系数化为1，然后再进行因式分解呢？答案是肯定的。不过，这不是普通的系数化一法。下面分类展示十字相乘法中首项系数化一法的解题过程：1、  现对含常数项的三项式进行讨论：6x-11x+3=①将x项系数记为1，常数项变为3×6：x-11x+18=（X-2)(x-9)②将x项系数还原，常数项还原：（还原的方法是逆运算）方法一：6x-11x+3=（6X-2)(x-9÷6)         =3（2x-1)(x-)         =3(x-)（2x-1)         =(2x-3)(3x-1)方法二：6x-11x+3=（X-2÷6)(6x-9)=3(2x-3)（X-）=3（x-)(2x-3)                =(2x-3)(3x-1)还原必须在不同项内进行，同项内不能双项还原。比如上题中这样还原不可以：6x-11x+3=（6X-2÷6)(x-9)，这样的还原也不行：6x-11x+3=（X-2)(6x-9÷6)2、  下面来看看不含常数项的三项式：尝试对6x+19xy+10y进行因式分解①将x二次项系数变为1，则x+19xy+60y       注意：60=2×2×3×5（末项系数应该写成质因数相乘的形式）②对变形的多项式因式分解1     15 1      4可得（x+15y）（x+4y）③分别对x和y的二次项系数分项还原：（6x+15y）（x+4y÷6）化简后可得（3x+2y）（2x+5y）不同方法还原：（x+15y÷6）（6x+4y）化简后，亦可得到（3x+2y）（2x+5y）。3、下面对四项式进行讨论：6ab+8a+9b+12由于多项式因式分解成的因式只跟首项与末项有关，因此四项也可看成三项式进行，中间两项合二为一。①尝试变形系数为1，可得ab+8a+9b+12×6=（a+9）（b+8） a      9        注意：12×6=2×2×2×3×3b      8 ②尝试常数项、二次项分项还原，可用不同方法还原：（6a+9）（b+8÷6），化简后可得：（2a+3）(3b+4)(a+9÷6)(6b+8)，化简2(3b+4)(a+3÷2)可得(2a+3)(3b+4)综上所述，十字相乘法中的“首项系数化一”法主要包括以下几个步骤：首先令多项式首项系数为1，将原系数乘到末项的系数上，将其化为首项系数为1的多项式。接着用十字相乘法进行因式分解，并还原首项和末项的系数，还原的方法是逆运算。还原无论在哪一个因式上进行都可以，但必须分项进行。最后只需化简，就可得出结果。4、十字相乘法中“首项系数化一分解法”的证明：我们都知道对于形如ax+bx+c的多项式，我们可以通过求根来进行因式分解，其变形为a(x-x)(x-x) 这里的x=, x=完整分解形式如下：a(x- )(x- ）①把ax+bx+c(其中a≠0)变形为x+bx+ac ，即把多项式二次项系数化成1,对于x+bx+ac这个多项式，我们也用公式法求根x=       x=所以x+bx+ac可以分解为（x- )(x- )②对常数项和二次项进行分项还原并化简：方法一：（ax-)(x-) 化简可得：a(x- )(x- ）方法二：（x- )(ax- )化简后也可得：a(x- )(x- ）二、十字相乘法在一元三次多项式的应用。首先，我们要明白一元三次多项式通常可以分解变为两个因式，一个因式是由一次项和常数项构成，另一个因式是由二次项、一次项和常数项构成。特殊情况下，第二个因式中也会有缺项现象。为此，可以利用逆向思维对多项式分解进行研究，为十字相乘法解题拓展更为广阔的空间：1、形如x-8x+3缺少二次项的三次多项式因式分解规律：①首先利用十字相乘法对三次项和常数项进行分解： X            3X            1 可以得出：（X+3）（X   +1）②补充后一个因式的一次项：注意:一次项系数形成规律 X            3             -3×3+1X   -3      1    可以得到：（X+3）（X-3x +1）③规律小结：前一个因式的一次项与后一个因式的二次项系数相等，且前一个因式的常数项与后一个因式一次项系数互为相反数。④请根据十字相乘法的分解提示完成下列多项式的因式分解：t-t-6=         注意:一次项系数形成规律     t        -2      -2×2+3×1t  +2t  +3。 9t-19t+10=                  25t-56t+32=3t       -2  5t          -43t +2t  -5 5t   +4t    -82、多项式中二次项系数和一次项系数均为非合并同类项系数。所谓非合并同类项系数，就是因式展开后，没有合并同类项的过程。如： x-2x-5x+10  如何用十字相乘法分解呢？①首先来观察分析多项式各项之间的数量关系：1，  -2， -5， 10 不难发现：（-2）×（-5）=10×1   ②利用十字相乘法并结合系数规律进行因式分解：          x-2x-5x+10         X      -2        x     -5   ③写出结果,并分析规律：     x-2x-5x+10=（x-2)(x-5)此类多项式因式分解后，第一个因式为一次项和常数项，第二个因式为二次项和常数项。④利用十字相乘法分解多项式：6x-4x-9x+6理清系数关系：6×3=（-4）×（-9） -2=-4,  -3=-9十字相乘法图示：3     -2  每一项的系数都可以由十字相乘直接得到：              2     -3写出分析因式：6x-4x-9x+6=（3x-2)(2x-3)通过以上分析可知：此类多项式的二次项系数和一次项系数在系数分解中直接出现。3、完整式系数合并型分解规律 t-7t+11t-5①分析数量关系:由三次项和常数项的数量关系可知二次项和一次项系数为合并系数。t       -5     确定首项和末项的数量关系t     1     可得：(t-5)(t    +1)②通过计算完成第二个因式中一次项系数，计算方法如下：原式中二次项系数-7减去第一个因式中的常数项- 5，所得结果再除以第一个因式中的一次项系数1。-7-（-5）=-2   -2÷1=-2③完成原式的因式分解： t-7t+11t-5=(t-5)(t-2t+1)=(t-5)(t-1)④根据十字相乘法的分解提示，完成多项式的因式分解。6t-13t+14t-122t            -3  完成首项和末项系数分解3t    ※      4   可得（2t-3）（3t    +4） ※完成因式中一次项系数计算：-13-[3×（-3）]=-4       -4÷2=-26t-13t+14t-12=（2t-3）（3t-2t+4）4、系数化一的十字相乘法。1、对于形如6x-4x-9x+6的多项式可用“首项系数化一”的十字相乘法。 ①首项系数化一：x-4x-9x+6×6②因式分解：（x-4)(x-9)注意二次项系数、一次项系数的对应关系。 ③还原数量关系：方法一：（6x-4)(x-9÷6)  化简可得：（3x-2)(2x-3)方法二：（x-4÷6)(6x-9) 化简亦可得：（3x-2)(2x-3) 2、对形如6t-13t+14t-12的多项式也可用首项系数化一的十字相乘法。解法如下： ①系数化一：t-13t+14t-12×6      ②用十字相乘法对新多项式分解：t           -9t  (    )  +8   可得（t-9)(t   +8)        ③用上面学过的方法补全第二个因式中的一次项。-13-（-9）=-4      -4÷1=-4通过计算可得：（t-9)(t-4t +8)       ④对分解后的因式进行还原：方法一：（6t-9)[t-（4t +8)÷6] 注意还原时关联项                （6t-9)（t-t+)             化简可得：（2t-3）（3t-2t+4）方法二：（t-9÷6)(6t-4t +8)   注意还原时关联项化简后亦可得到：（2t-3）（3t-2t+4）三、十字相乘法在解方程中的妙用。①解方程：( x-x)-8( x-x)+12=0第一次十字相乘法  可得：（ x-x-2）（ x-x-6）=01       -21       -6         x-x-2=0第二次十字相乘法  可得（x-2）（x+1)=01       -21       1     即x=2， x=-1 x-x-6=0第三次因式分解：可得：（X-3)(x+2)=01      -31      2         即x=3，x=-2②解方程：2（x+4)-3(x+4)+1=0可以变形为：（x+4)-3(x+4)+2=0（x+4-1)（x+4-2)=0 注意这里（x+4）是个整体，还原时不能拆开。分项还原：[2（x+4）-1][（x+4）-2÷2]=0或[（x+4）-1÷2][2（x+4）-2]=0化简后都可得：（2x+7)(x+3)=0解之可得：x=-， x=-3总而言之，多项式的因式分解方法比较多，如提取公因式法，公式法，多项式除法，十字相乘法等，具体选择哪种方法来解决问题，依据个人的喜好，习惯和熟练程度等因素来决定。有方法总比没方法好，简便的总比复杂的好，熟练的总比陌生的好，以方便快捷准确为原则。