数学4.2 等差数列集体备课ppt课件

这是一份数学4.2 等差数列集体备课ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，合作探究释疑解惑，易错辨析，随堂练习等内容，欢迎下载使用。
1.能应用等差数列解决实际应用问题.2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.3.培养学生的逻辑推理能力,提高数学运算能力,提升数据分析素养.
一、等差数列性质的应用【问题思考】1.已知等差数列{an}的公差为d,那么(1)数列a1,a3,a5,a7,…是什么数列?提示:因为a3=a1+2d,a5=a3+2d,a7=a5+2d,…,所以数列a1,a3,a5,a7,…是公差为2d的等差数列.(2)数列a2,a4,a6,a8,…是什么数列?提示:数列a2,a4,a6,a8,…是公差为2d的等差数列.(3)“等距”抽取数列{an}中的项,如数列a1,a5,a9,a13,…;a2,a6,a10,a14,…,它们分别是等差数列吗?提示:数列a1,a5,a9,a13,…是公差为4d的等差数列;a2,a6,a10,a14,…是公差为4d的等差数列.
2.填空:从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.3.做一做:已知数列{an}是等差数列,公差d=2,则数列{a3n}的公差为　　　　　. 解析:因为数列{an}的公差d=2,所以数列{a3n}的公差d'=3×2=6.答案:6
二、 等差数列通项公式的推广【问题思考】1.在等差数列{an}中,任意两项an与am有怎样的关系?能否用它们求公差? (其中n>m,m,n∈N*).
3.做一做:若一个等差数列{an}中,a2=3,a7=6,则其公差为(　　)
解析:∵a7-a2=5d,∴5d=3,d= .答案:A
三、通项公式中“下标和”的性质【问题思考】1.看下面三个等差数列:①1,3,5,7,9,13,…;②5,2,-1,-4,-7,-10,…;③2,2,2,2,2,2,….(1)你能计算出每个数列中a1+a5与a2+a4的值吗?提示:①a1+a5=10,a2+a4=10;②a1+a5=-2,a2+a4=-2;③a1+a5=4,a2+a4=4.
(2)各个等差数列中,a1+a5与a2+a4的值有怎样的数量关系?这种关系是巧合吗?提示:相等,不是巧合.(3)如果换为a1+a4与a2+a3呢?提示:仍然相等.
2.填空:(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an= ap+aq .(2)在等差数列{an}中,若m+n=2t,则am+an= 2at .(3)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an= a2+an-1 = a3+an-2 =…=ai+1+an-i=….3.做一做:已知数列{an}是等差数列,a2+a10=8,则a5+a7=　　　　　. 解析:由等差数列的性质,得a5+a7=a2+a10=8.答案:8
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)在等差数列{an}中,a10=a3+7d.( )(2)若数列{an}为等差数列,则数列am,am+k,am+2k,am+3k,…也成等差数列.( )(3)等差数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成等差数列.( )(4)在等差数列{an}中,等式a15=a7+a8 一定成立.( )
【例1】 (1)在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于(　　)A.-9B.-8C.-7D.-4(2)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项的值为(　　)A.0B.37C.100D.-37
解析:(1)∵{an}是等差数列,设其公差为d,∴a6-a4=6=2d.∴d=3.∵a1+d=-5,∴a1=-8.(2)设cn=an+bn,则{cn}为等差数列,设其公差为d.则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.故d=c2-c1=0,cn=100(n∈N*).从而c37=100.答案:(1)B　(2)C
【变式训练1】 (1)若等差数列{an}的公差为2,则数列{3an-2}的公差为(　　)A.3B.4C.5D.6(2)已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a19-b19=16,则a10-b10的值为(　　)A.-6B.6C.0D.11
解析:(1)∵数列{an}的公差为2,∴数列{3an-2}的公差为3×2=6.(2)∵{an},{bn}是等差数列,∴{an-bn}也是等差数列,而a1-b1=6,a19-b19=16,且a10-b10是它们的等差中项,∴a10-b10= (6+16)=11.答案:(1)D　(2)D
【例2】 在公差为d的等差数列{an}中,(1)若a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.解法一:(1)化成关于a1和d的方程如下:(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48.可得4a13=48,解得a13=12.
反思感悟 1.正确认识等差数列的“下标和”性质:(1)此性质是等差数列特有的性质;(2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,反之不成立;(3)若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap;(4)(2)中命题结论等式的两边各有两项,也可以推广到三项、四项……但等式两边和的项数必须相同.2.利用等差数列的性质解题可以大大简化解题过程.
3.若{an}是公差为d的等差数列,则其具有的其他性质如下:(1){c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;(2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;(3){an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列;(4)am+n-an=am+k-ak=md(m,n,k∈N*);(5)若下标成等差数列,则数列am,am+k,am+2k,am+3k,…成等差数列,公差为kd(m,k∈N*);(6)若{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan±tbn}(k,t为非零常数)也为等差数列.
本例(2)中已知条件不变,添加条件“a4>a2”,求a5的值.解:∵a2+a3+a4+a5=34,且a3+a4=a2+a5,∴2(a2+a5)=34,∴a2+a5=17.
【变式训练2】 在等差数列{an}中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5=(　　)A.100B.90C.95D.20解析:在等差数列{an}中,∵a2+a8=10,∴a2+a8=2a5=10,解得a5=5.∴(a4+a6)2-2a5=(2a5)2-2a5=100-10=90.答案:B
【例3】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息回答下列问题:(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.(3)哪一年的养鸡业规模最大?请说明理由.
【变式训练3】 假设某市2014年新建住房400万平方米,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米.那么从哪一年年底开始,该市每年新建住房面积大于820万平方米?解:设从2013年年底开始,n年后该市每年新建的住房面积为an万平方米.由题意,得{an}是等差数列,首项a1=400,公差d=50.则an=a1+(n-1)d=350+50n.令350+50n>820,解得n> .由于n∈N*,则n≥10.即从2023年底开始,该市每年新建住房面积大于820万平方米.
等差数列性质使用不正确致错【典例】 在等差数列{an}中,已知a3=2,a6=5,求a9.错解:因为3+6=9,所以a9=a3+a6=2+5=7.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:性质am+an=ap+aq中必须是两项相加等于两项相加,并不是下标和相等即相等.正解:a3,a6,a9构成一个新的等差数列,其中a3是第1项,a6是第2项,a9是第3项,故a9=8.防范措施 使用性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”时,一定注意结论中等式两边的项数相同.
【变式训练】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
1.(多选题)在等差数列{an}中,下列关系式不成立的是(　　)A.a1+a8=a3+a5B.a2+a7=2a5C.a1+a9=2a5D.a2-a1=a8-a9答案:ABD2.在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=39,a4+a5+a6=27,则a1+a6的值为(　　)A.22B.66C.44D.132解析:∵{an}为等差数列,∴a1+a2+a3=3a2=39,∴a2=13.∵a4+a5+a6=3a5=27,∴a5=9,∴a1+a6=a2+a5=13+9=22.答案:A
3.在等差数列{an},{bn}中,若a1+b1=3,a3+b3=7,则a5+b5=　　　　　. 解析:∵{an},{bn}为等差数列,∴{an+bn}为等差数列,∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),∴a5+b5=2×7-3=11.答案:114.在等差数列{an}中,若公差d=2,a1+a3+a5=30,则a2+a4+a6=　　　　　. 解析:根据数列{an}为等差数列,得a1+a3+a5=3a3=30,∴a3=10.又d=2,∴a4=12.∴a2+a4+a6=3a4=3×12=36.答案:36