高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法备课课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法备课课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，合作探究释疑解惑，易错辨析，未应用归纳假设而致错，随堂练习，答案D等内容，欢迎下载使用。
1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.体会逻辑推理的过程,加强数学建模和数据分析的素养提升.
数学归纳法【问题思考】1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同学.问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N*).请问:以上两个结论正确吗?为什么?提示:不正确,问题1是不完全归纳,第四名同学的到来与前面的同学没有关系.问题2中当n=1时成立,当n=2,3,4时不成立.
2.在学校,我们经常会看到一种现象:排成一排的自行车,如果一名同学将第一辆自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下.试想:要使整排自行车倒下,则需要具备哪几个条件?提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆倒下.3.填空:数学归纳法的定义一般地,证明一个与 正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n= n0(n0∈N*) 时,命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
4.做一做:用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证(　　)A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析:由题知,n的最小值为3,故第一步验证当n=3时是否成立.答案:C【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )(4)在用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )
解析:结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有n2-n+1项,
答案:D反思感悟 1.验证是基础:找准起点,有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,故从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
【变式训练1】 (1)我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时,在由“当n=k时论断成立⇒当n=k+1时论断也成立”的过程中(　　)A.必须运用假设B.n可以部分地运用假设C.可不用假设D.应视情况灵活处理,A,B,C均可(2)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= (n≥2,n∈N),验证当n=2时,左端的式子为　　　　　;当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 
解析:(1)由“当n=k时论断成立⇒当n=k+1时论断也成立”的过程中必须运用假设.
当验证当n=2时,左端的式子为1+2+3+4.当n=k时,等式左端=1+2+…+k2,当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+(k+1)2,增加的项为(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.答案:(1)A　(2)1+2+3+4　(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
【例2】 用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.那么当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.
反思感悟 在用数学归纳法证题时,利用假设是核心.在第二步证明当n=k+1命题成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“当n=k时命题成立”作为条件来导出“当n=k+1时命题成立”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
【变式训练2】 用数学归纳法证明:
反思感悟 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些,方法更灵活些,用数学归纳法证明的第二步,即已知f(k)>g(k),求证f(k+1)>g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点:(1)先凑假设,作等价变换;(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析,直到凑出结论.
(1)求a2,a3.(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
反思感悟 1.本题中由当n=k时命题成立证明当n=k+1命题成立时,利用ak+1=Sk+1-Sk来寻找ak+1与ak的关系是证明的关键.2.在证明与数列有关的问题时,一般要用到ak+1与ak或Sk+1与Sk的关系,在寻找它们之间的关系时,往往要用到已知条件和ak+1=Sk+1-Sk来建立等量关系.
【变式训练4】 设数列{an}满足a1=3,an+1= -2nan+2,n=1,2,3,….(1)求a1,a2,a3的值,并猜想数列{an}的通项公式;(2)利用数学归纳法证明上述猜想.(1)解:∵数列{an}满足a1=3,an+1= -2nan+2,n=1,2,3,…,∴a2=9-2×1×3+2=5,a3=25-2×2×5+2=7.由此猜想数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)证明:用数学归纳法证明如下:①当n=1时,a1=2×1+1=3,成立;②假设当n=k时猜想成立,即ak=2k+1,则当n=k+1时,有ak+1= -2kak+2=(2k+1)2-2k(2k+1)+2=2k+3=2(k+1)+1,成立.由①②可得,an=2n+1.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任意n∈N*都成立.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
防范措施 数学归纳法的第二步是证明了一个递推关系,即当n=k时命题成立,当n=k+1时命题也成立,因此在证明当n=k+1命题成立时,要用上归纳假设才能说明“当n=k时命题成立则有当n=k+1时命题也成立”.
【变式训练】 已知n∈N*,求证:1×22-2×32+…+(2n-1)·(2n)2-2n·(2n+1)2 =-n(n+1)(4n+3).证明:(1)当n=1时,左边=4-18=-14=-1×2×7=右边.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时等式成立,即1×22-2×32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).则当n=k+1时,1×22-2×32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2+(2k+1)·(2k+2)2-(2k+2)·(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3],即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= (a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边的项是(　　)A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.答案:C