高中数学4.3 等比数列教课内容课件ppt

这是一份高中数学4.3 等比数列教课内容课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，答案C，合作探究释疑解惑，易错辨析，随堂练习，答案5n-1等内容，欢迎下载使用。
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.2.掌握等比数列前n项和的性质的应用.3.通过公式推导,提高数学建模意识,提高数学运算能力和数据分析素养.
一、等比数列的前n项和公式【问题思考】1.对于数列1,2,22,23,…,2n,….(1)该数列的首项和公比分别是多少?提示:首项为1,公比为2.(2)把该数列的前n项和Sn=1+2+22+…+2n①两边同乘公比2,得2Sn=2+22+23+…+2n+1,②这两个等式的右边有何相同点?若用②式减去①式,会有什么结果?提示:①式右边从第2项到第n项分别与②式右边从第1项到第n-1项相等,若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉,求得Sn=2n+1-1.
(3)对和式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(q≠1)按问题(2)的方法处理会怎样呢?提示:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,③qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn,④④-③得(q-1)Sn=a1(qn-1),
2.填空:等比数列的前n项和公式
3.做一做:已知等比数列{an}的公比q=2,首项a1=2,则Sn等于(　　)A.n2+nB.n2-nC.2n+1-2D.2n-1
二、等比数列前n项和的性质【问题思考】1.在等差数列{an}中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列吗?提示:成等差数列.2.若数列{an}为等比数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列吗?(a1+a2≠0)提示:因为a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列.3.若数列{an}为等比数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列吗?提示:成等比数列.
4.仿照问题1,在等比数列{an}中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是否成等比数列?(Sk≠0)提示:成等比数列.5.填空:若数列{an}是公比为q的等比数列,则(1)当公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
(3)Sn+m=Sn+qnSm.6.做一做:已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则S6=　　　　　. 解析:由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∵S2=2,S4-S2=4,∴S6-S4=8,∴S6=8+S4=14.答案:14
【例1】 设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.(1)若a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5;(2)若q=2,S4=1,求S8.
【变式训练1】 (1)设首项为1,公比为 的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an(2)在等比数列{an}中,若a1=1,an=243,q=3,则Sn=　　　　　. 答案:(1)D　(2)364
答案:(1)C　(2)B　(3)A
在本例(1)中,其他条件不变,若Sn=126,则n=　　　. 解析:由an+1=2an可知数列{an}为等比数列,且公比q=2,
由Sn=126知2n+1=128,故n+1=7,n=6.答案:6
【变式训练2】 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3=5,a2+a4=10,则S5=(　　)A.15B.16C.31D.32解析:设等比数列{an}的公比为q,∵a1+a3=5,a2+a4=10,∴q(a1+a3)=5q=10,a1(1+q2)=5,
【例3】 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则S9等于(　　)A.255B.511C.512D.567(2)在等比数列{an}中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+…+a80=　　　　　.(3)已知等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　　. 解析:(1)∵S3=7,S6=63,∴由等比数列的性质得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即7,56,S9-63成等比数列,∴562=7(S9-63),解得S9=511.
答案:(1)B　(2)24　(3)2
反思感悟 等比数列前n项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质:在等比数列{an}中,公比为q.
【变式训练3】 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20= 　　　　　. 解析:设等比数列{an}的公比为q,∵S5=2,S10=6,∴a1+a2+a3+a4+a5=2,a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5)=4,∴q5=2.∴a16+a17+a18+a19+a20=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=23×2=16.答案:16
在求Sn的过程中忽略对公比q的讨论致错【典例】 已知等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=2,S3=6,求a3和q.错解:由等比数列的前n项和公式,
故a3=a1q2=2×(-2)2=8.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:在上面的求解过程中,没有讨论公比q是否为1,就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn= ,从而出现漏解情况.
正解:若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2.若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,
解得q=1(舍去)或q=-2.此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.综上所述,a3=2,q=1或a3=8,q=-2.防范措施 在求等比数列的前n项和Sn时,如果不明确q的具体情况,那么不能直接套用前n项和公式,要记住对q=1和q≠1进行讨论.
【变式训练】 在等比数列{an}中,a3=4,S3=12,求数列{an}的通项公式.解:当q=1时,a3=4,a1=a2=a3=4,S3=a1+a2+a3=12,故q=1符合题意.an=4.
1.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项的和为(　　)A.63B.64C.127D.128解析:∵a5=a1q4,∴q=±2.∵q>0,∴q=2,
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于(　　)
3.若数列{(-1)n+2}的前n项和为Sn,则S2 019=　　　　　. 解析:由题知,数列{(-1)n+2}的首项为-1,公比为-1,∴S2 019=-1.答案:-14.若等比数列{an}满足a1=4,a2=20,则{an}的前n项和Sn=　　　　　. 解析:等比数列{an}满足a1=4,a2=20,