高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列多媒体教学ppt课件

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1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式及运用.3.掌握等差数列的判定方法.4.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理能力与数学运算能力.
一、等差数列的概念【问题思考】1.观察下面几组数列:①0,5,10,15,20,25,…;②9,6,3,0,-3,-6,…;③2,2,2,2,2,2,….(1)每个数列从第2项起,每一项与前一项的差分别是几?提示:从第2项起,每一项与前一项的差分别是5,-3,0.(2)每个数列中,相邻两项的递推关系分别是什么?提示:分别是an+1-an=5,an+1-an=-3,an+1-an=0.(3)这几个数列都有什么共同特点?提示:从第2项起,每一项与前一项的差都是同一个常数.
2.填空:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.符号语言: an+1-an=d (d为常数,n∈N*).
二、等差中项【问题思考】1.如果三个数a,A,b成等差数列,那么它们之间有怎样的数量关系?提示:因为A-a=b-A,所以a+b=2A.2.填空:(1)由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A= a+b .
3.做一做:方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为(　　)A.1B.6C.-6D.-3解析:设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-6,
三、等差数列的通项公式【问题思考】1.已知等差数列1,3,5,7,…,你能归纳出它的通项公式吗?怎样表示?提示:能.an=2n-1.2.在等差数列{an}中,能不能用a1与d表示an呢?怎样表示?提示:能.an-a1=(n-1)d,移项可得an=a1+(n-1)d.3.填空:首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= a1+(n-1)d .4.做一做:已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=(　　)A.4-2nB.2n-4C.6-2nD.2n-6解析:an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=-2n+6.答案:C
四、从函数角度认识等差数列{an}【问题思考】1.观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?提示:等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)当x=n时的函数值,即an=f(n).2.填空:若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d =nd+(a1-d).(1)点(n,an)落在直线 y=dx+a1-d 上;(2)这些点的横坐标每增加1,其函数值增加 d ;(3)若d>0,则数列{an}是递增数列;若d0(n≥2),所以数列{an}是公差为2的递增等差数列.故选A.答案:A
(2)判断下列数列是不是等差数列,并给出证明.①an=4-2n;②an=n2+n.解:①是等差数列.证明如下:当n∈N*时,an+1-an=4-2(n+1)-(4-2n)=4-2n-2-4+2n=-2(常数),故{an}是等差数列,且公差为-2.②不是等差数列.证明如下:因为a1=2,a2=6,a3=12,所以a2-a1≠a3-a2,所以{an}不是等差数列.
反思感悟 1.给出了数列的通项公式,要判断是否为等差数列可以用定义法,也可以直接看通项公式是否为an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)的形式,若符合此形式,则为等差数列,否则不是.2.定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列为等差数列,可用an+1-an=d(常数)(n∈N*)或它的等价命题,但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出反例.
【变式训练1】 (1)(多选题)下列通项公式所表示的数列中,是等差数列的是(　　)A.an=2B.an=8-3nC.an=lg37nD.an=n2-3n解析:由等差数列的定义可知,A项中的数列是公差为0的等差数列;B项中的数列是公差为-3的等差数列;C项中的数列是公差为lg37的等差数列;D项中的数列,由通项公式知,a1=-2,a2=-2,a3=0,而a2-a1≠a3-a2,所以该数列不是等差数列.答案:ABC
(2)判断下列数列是不是等差数列.①5,8,11,…,3n+2,…;②1,1,1,1,…;③-3,-2,-1,1,2,3,4,….解:①根据等差数列的定义可知,该数列是首项为5,公差为3的等差数列.②根据等差数列的定义可知,该数列是首项为1,公差为0的等差数列.③由于1-(-1)≠2-1,故该数列不是等差数列.
【例2】 (1)已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a5=(　　)A.1B.2C.3D.6解析:∵{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,设其公差为d,
∴a5=a1+4d=-10+12=2.答案:B
(2)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
故这个等差数列的首项是-2,公差是3.反思感悟 1.在等差数列{an}中,若已知am=a,an=b,一般列出关于a1,d的方程组 求出a1,d,从而确定该数列的通项公式.2.通项公式an=a1+(n-1)d中有四个量a1,d,n,an,求解过程中反映了“知三求一”的方程思想.
在本例(2)中将条件改为“a1=2,a5=10,an=32”,求n的值.解:根据等差数列的通项公式a5=a1+4d,得10=2+4d,解得d=2.故an=a1+(n-1)d,代入解得n=16.
【变式训练2】 在等差数列{an}中,a5=9,且2a3=a2+6,则a1=(　　)A.-3B.-2C.0D.1解析:设等差数列{an}的公差为d,
故a1=-3.答案:A
【例3】 (1)已知等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为(　　)A.an=2n-5B.an=2n-3C.an=2n-1D.an=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2,∴an=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.答案:B
(2)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,且它们的和为18,平方和为116,求这三个数.解法一:设这三个数为a,b,c,且a