高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课文内容课件ppt

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1.掌握等比数列的性质及其应用.2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.3.培养逻辑推理能力和数学建模的能力,加强数据分析的素养.
一、“子数列”的性质【问题思考】1.取出等比数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?提示:是.首项为a1,公比为q2.2.填空:对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为 ak+1 ,公比为 q ;若取出所有的k的倍数项,组成的数列为等比数列,首项为 ak ,公比为 qk .
二、“下标和”性质【问题思考】1.给出以下两个等比数列{an}:①1,2,4,8,…;②1,-3,9,-27,….(1)在上述每一个数列中,请你计算a2·a6与a3·a5的值,看它们有什么关系.若计算a1·a5与a2·a4呢?提示:a2·a6=a3·a5;a1·a5=a2·a4.(2)在上述每一个数列中,a2·a6,a3·a5的值与a4的值有什么关系?a1·a5,a2·a4与a3的值呢?
2.填空:在公比为q的等比数列{an}中:(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 aman = apaq .(2)若m+n=2p(m,n,p∈N*),
3.做一做:(1) 已知在等比数列{an}中,若a1a9=9,则a4a6=(　　)A.3B.±3C.9D.±9(2)在等比数列{an}中,若a4=4,则a2·a6等于(　　)A.4D.32解析:(2)∵{an}是等比数列,∴a2a6= =42=16.答案:(1)C　(2)C
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)在等比数列{an}中,若a10,则数列的各项均为负数.( )(2)在等比数列{an}中,若am·an=ap·aq,则m+n=p+q.( )(3)在公比为q的等比数列{an}中,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am·an= .( )(4)若数列{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{lgaan}(a>0,且a≠1)为等差数列.( )
解析:(1)设等比数列{an}的公比为q,∵a1+a2=10,a3+a4=60,∴q2(a1+a2)=10q2=60,解得q2=6.则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2 160.
【变式训练1】 (1)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则q=　　　　　,a8+a9+a10=　　　　　. (2)在等比数列{an}中,若a2,a9是方程3x2-2x-6=0的两根,则a4·a7=　　　　.解析:(1)∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,∴q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.则a8+a9+a10=q7(a1+a2+a3)=27×1=128.(2)在等比数列{an}中,若a2,a9是方程3x2-2x-6=0的两根,
答案:(1)2　128　(2)-2
【例2】 某工厂2020年1月的生产总值为a万元,计划从2020年2月起,每月的生产总值比上一个月增长m%,那么到2021年8月底该厂的月生产总值为多少万元?分析:(1)该问题可以转化为等比数列模型吗?(2)a1,q分别是多少?要求哪一个量?解:设从2020年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,
反思感悟 利用数列解决实际问题的关键是建立恰当的数学模型,本例的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列,2021年8月底的月生产总值是该数列中的第20项,这一点容易被搞错.
【变式训练2】 某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加的台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月的月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产了多少台电脑?解:根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑的台数分别为x-d, x,x+d(d>0),则实际上3个月生产电脑的台数分别为x-d,x+10,x+d+25,
【例3】 已知{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列,a1=16, 2a3+3a2=32.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=3lg2an,求数列{bn}的前n项和Sn,并求Sn的最大值.解:(1)设{an}的公比为q,因为a1=16,2a3+3a2=32,所以2q2+3q-2=0.
【变式训练3】 已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得 =a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.因为a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.
方程思想在等比数列中的应用【典例】 已知等比数列{an}是递增数列,若a5-a1=60,a4-a2=24,求公比q.分析:用a1,q分别表示a2,a4,a5,解方程组求出q,注意所求值是否需要舍去.
【变式训练】 已知正数等比数列{an}中,若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,求an.
2.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的公比等于(　　)A.1B.-1C.-2D.2解析:设等比数列{an}的公比为q.∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,∴4×3q=4×3+3q2,即q2-4q+4=0,解得q=2.答案:D
3.设数列{an}是首项为1,公差不为零的等差数列,Sn是其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则数列{an}的公差为　　　　　. 解析:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
4.在2和8之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于　　　　　.