2022内江高三下学期第三次模拟考试数学（理）含答案

内江市高中2022届第三次模拟考试题

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．

1．已知集合，，则（）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则z的虛部为（）

A． B． C．i D．1

3．已知向量，，若，则（）

A．1 B．4 C． D．

4．四川省现在的高考模式仍要分文理科，某中学在统计高一学生文理科选择意愿时，抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高条形图：

根据这两幅图中的信息，下列结论中正确的是（）

A．样本中的女生数量少于男生数量

B．样本中有文科意愿的学生数量多于有理科意愿的学生数量

C．样本中的男生偏爱理科

D．样本中的女生偏爱文科

5．三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则（）

A．三棱锥的体积为3 B．

C．平面平面BCD D．平面平面ACD

6．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（）

A．3 B．2 C． D．

7．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却又是个定值，它可以通过方程解得，类比上述方法，则（）

A． B． C． D．2

8．若函数的图象关于直线对称，则（）

A． B．0 C． D．

9．安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（）

A．18种 B．12种 C．9种 D．6种

10．已知函数满足：对任意，．当时，，则（）

A． B． C． D．

11．如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，M、N分别是棱、上的动点，且，则下列结论中正确的是（）

A．直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置有关

B．直线AD与直线MN所成角的最大值为

C．直线与直线MN可能异面

D．三棱锥的体积保持不变

12．若圆上存在一点P，过点P可作两条直线PA、PB与双曲线相切，且，则r的取值范围是（）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．展开式中，含x项的系数为__________．

14．曲线在处的切线方程是__________．

15．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为__________．

16．已知函数，数列是公差为2的等差数列，

若，则数列的前n项和__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

2021年某省约有28万理科考生参加高考，除去成绩在630分及以上的8145人与成绩在430分以下的103600人，还有约16.81万理科考生的成绩集中在内，其成绩的频率分布如下表所示：

（1）请估计该次高考理科考生成绩在内的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取7名考生进行电话访问，再从被电话访问的7名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率．

18．（本小题满分12分）

如图，在中，，，点D在线段AB上．

（1）若，求CD的长；

（2）若，，求AB的长．

19．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABFE是正方形，四边形ABCD是梯形，，，平面平面ABCD，．

（1）证明：平面CDF；

（2）求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

设圆的圆心为，点与点关于原点对称，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点M，记点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知点，曲线C上是否存在点B，使得在y轴上能找到一点D满足为等边三角形？若存在，求出所有点B的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

设函数．

（1）讨论函数在上的零点的个数；

（2）证明：．

请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）写出曲线C和直线l的普通方程；

（2）已知点，直线l与曲线C交于点A、B，弦AB的中点为Q，求的值．

23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）已知，，证明：．

内江市高中2022届第三次模拟考试题

数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 9．A 10．C 11．D 12．B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

13．80 14． 15．4 16．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）

17．解：（1）该次高考理科考生成绩在内的平均分的估计值为

（2）分数段在和的考生人数的比值为．

∴按分层抽样方法在分数段的考生中应抽取名．

在分数段的考生中应抽取名

在抽取的7名考生中再随机抽取3名进行问卷调查的情况种数

进行问卷调查的3名考生中有3名分数不低于550分的情况种数

进行问卷调查的3名考生中有2名分数不低于550分的情况种数

∴进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率

18．解：（1）

∴，故

在中，由正弦定理知

∴

（2）在中，由正弦定理知

，，，

∴

在中，由正弦定理知

∴

在中，由正弦定理知

∴，得

19．解：（1）证明：如图，过D点作交BC的延长线于点G，连接EG、FG，设EG交DF于H点，连接CH

，

∴四边形ABGD为平行四边形

∴，

∴四边形EFGD为平行四边形

∴为线段EG的中点

∴在中，CH为中位线，故

又平面CDF，平面CDF

∴平面CDF

（2）平面平面ABCD，平面平面，

∴平面ABCD

又，∴，AD，AE两两垂直

∴以A为原点建立如图的空间直角坐标系

，，，，，，

设平面CDF的一个法向量为，则

，即，令，得

设平面EDF的一个法向量为，则

，即，令，得

∴

二面角为钝角

∴二面角的余弦值为

20．解：（1）由题意得，，圆的半径为4

点与点关于原点对称，∴

线段的垂直平分线交线段于点M

∴

∴

又

∴的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中长轴，焦距，故短半轴

∴曲线C的方程为

（2）当AB的斜率为0时，点B的坐标为，点D的坐标为或，满足题意

当AB的斜率不为0时，设，，线段AB的中点为Q

，∴，直线AB的斜率，直线的斜率

当为等边三角形时，，

∴，整理得

又∵，∴，由，得，故

又∵为等边三角形，有

∴，整理得

∴，解得或（舍去）

将代入，解得或

∴满足条件的点B的坐标为：、、

21．（1）解：令，得

令，则在上的零点即为在上的零点

∵当时，；当时，

∴在上单调递减，在上单调递增

∴当时，取极小值

①当时，，故在上无零点

②当时，，故在上有一个零点

③当时，

∵，，

∴在上有两个零点

④当时

，，当时，

在上有一个零点

综上，当时，在上无零点；

当或时，在上有一个零点；

当时，在上有两个零点

（2）证明：要证

即证

当时，由（1）知，对成立

∵函数在上单调递减

∴对成立

∴对成立，得证

22．解：（1）由消去参数，

得曲线C的普通方程为．

由得，

将代入上式得

∴直线l的直角坐标方程为

（2）∵点在直线上

∴直线l的参数方程可为（t为参数）①

将①式代入曲线，得

设点A、B对应的参数分别为、，则

∴

23．解：（1）当时，，故可化为，得

当时，，故无解

当时，，故可化为，得

综上，不等式的解集为

（2）∵，∴

又∵

∴，得证