2022兰州教育局第四片区高二下学期期中数学试题含答案

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甘肃省兰州市教育局第四片区2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题注意事项：1.答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将正确答案填写在答题卡上；卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 记函数的导函数为．若，则（）A.  B.  C.  D. 2. 已知空间向量，.若，则实数的值为（）A. 2 B. 1 C. 1 D. 23. 用反证法证明命题“已知，是自然数，若，则，中至少有一个不小于”，提出的假设应该是（）A. ，都不小于 B. 至少有一个不小于C. ，都小于 D. ，至少有一个小于4. 函数导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率大于零5. （）A B.  C.  D. 6. 曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（）A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-27. 若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为(　　)A.  B. C. 2 D. 8. 如图所示，在正四棱柱中，，，分别是和的中点，则异面直线与所成的角为（）A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°9. 用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（）A.  B. C.  D. 10. 若函数存在极值点，则实数的取值范围是（）A.  B. C.  D. 11. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为（）A.  B. C.  D. 12. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，，则不等式的解集为（）A.  B. C.  D. 卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知为奇函数，当时，，则________．14. 在正方体中，点E是线段的中点，则直线与所成角的余弦值是_______．15. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分（由对角线及函数围成）的概率为_______.16. 如图，空间四边形的各边长均相等，，，平面平面，给出下列四个结论：①；②异面直线与所成的角为；③为等边三角形；④与平面所成的角为.其中正确结论的序号是________.(请将正确结论的序号都填上)三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17已知函数.（1）求函数单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.18. 已知数列，且为该数列的前项和.（1）猜想数列的通项公式；（2）计算，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；20. 如图在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，，，，.（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.21. 已知函数．（1）若，求导函数曲线与直线，及轴所围成面积；（2）求的单调区间．23. 如图，在直三棱柱中，侧棱，，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN．（1）证明：平面；（2）若BA=BC=2，求二面角的平面角的大小．25. 已知函数 .（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】D【12题答案】【答案】B【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】①②③【17题答案】【答案】（1）增区间是，减区间是；（2），.【详解】（1）函数的定义域为，,由解得，由，可得，所以函数增区间是，由，可得，所以函数减区间是.（2）1 0 由上表可知：，.【18题答案】【答案】（1）（2），，证明见解析【小问1详解】根据题意可得【小问2详解】，所以.用数学归纳法证明这个猜想．①当时，左边右边，猜想成立．②假设当时猜想成立，即所以，当时猜想也成立．根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立．【20题答案】【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）以为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：∴，，，设平面的一个法向量为，由，，得，令，则，，所以，取平面的一个法向量为，设二面角的大小为，由图可知为锐角，∴，∴，即二面角的大小为；（2）由（1）知平面的一个法向量为，又，∴，∴点到平面的距离.【21题答案】【答案】（1）（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【小问1详解】由已知，当时，，∴导函数曲线与直线，及坐标轴所围成的面积为：.【小问2详解】由题得，①当时，则当时恒成立，即当时恒成立，∴函数单调递增区间为；②当时，令可得，当时，；当时，，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【23题答案】【小问1详解】如图，取的中点P，连接，N为AC的中点，，且．又，，四边形B1MNP是平行四边形，．又平面，MN平面，平面．【小问2详解】如图，做，交于，以点B为原点，为轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，直三棱柱的底面△ABC的边长BA=BC=2，侧棱，，．设平面AB1C1的法向量为．因为，，所以令x=1，则，．平面的一个法向量为，，由图知二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的大小为．【25题答案】【小问1详解】①当时，，即函数的单调递增区间为 .  ②当时，令，可得，当时，，当时，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .【小问2详解】①当，即时，函数在区间上是减函数，所以的最小值是 . ②当，即时，函数在区间上是增函数，所以的最小值是 . ③当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数 . 又，所以当时，最小值是；当时，最小值为 . 综上可知，当时，函数最小值是；当时，函数的最小值是 .【小问3详解】∵，，∴原不等式等价于对恒成立，∴对恒成立，令，，∴在单调递增，在 单调递减，∴，∴，∴的取值范围是