2022乌鲁木齐四中高二下学期期中阶段考试文数试题

乌鲁木齐市第四中学2021-2022学年度下学期阶段性诊断测试

高二数学（文）试题

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：，则.

故选：A.

2. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】由题意可得：.

故选：C.

3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题是（    ）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

4. 函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

5. 若满足约束条件则的最小值为（    ）

A. 18 B. 10 C. 6 D. 4

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.

【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,

转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.

6. （    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

【详解】由题意，

.

故选：D.

7. 在区间随机取一个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】求出在上小于的数的区间长度，由概率公式计算可得．

【详解】由题意．

故选：C．

8. 已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得出关于、的方程组，进而可解得的值.

【详解】，所以，，①，，②，

因为、是定义在上的偶函数和奇函数，由②可得，

则有，解得.

故选：D

9. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

10. 已知曲线在点处的切线方程为，则

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

11. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

12. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【12题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．

【详解】设点，因为，，所以

，

而，所以当时，的最大值为．

故选：A．

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，则___________.

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值，

【详解】由于，所以.

故答案为：

14. 双曲线的右焦点到直线的距离为________．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

15. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【详解】设，则，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：

（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；

（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？

（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率.

附：，

【17题答案】

【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关

（3）

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．
（2）假设不同年龄与支持申办奥运无关没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事件，即可求出概率．

试题解析：

（1）

（2）

所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.

（3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：

，，，，，，，，，共10个，其中至多1为教师有7个基本事件：，，，，，，

所以所求概率是.

18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且.

（1）证明平面PAM⊥平面PBD；

（2）若，求四棱锥P-ABCD的体积.

【18题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.

（2）根据求得，从而结合锥体的体积公式求得四棱锥的体积.

【小问1详解】

∵平面，平面，∴.

∵，，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

【小问2详解】

∵M为的中点，∴且①.

∵平面，平面，∴.

则有，，即，

则有，则有，将①式代入，解得.

所以.

.

20. 已知是等差数列，其前项和为，若，成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求.

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合等比中项的知识求得数列的首项和公差，由此求得的通项公式.

（2）利用分组求和法求得.

【小问1详解】

设数列的公差为，则

,

∵成等比数列，∴，

∴，

∴，

得：，∴.

【小问2详解】

由于，

所以

.

22. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

【22题答案】

【答案】（1）；（2）最大值为.

【解析】

【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.

【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，

所以该抛物线的方程为；

（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法

设，则，

所以，

由在抛物线上可得，即，

据此整理可得点的轨迹方程为，

所以直线的斜率，

当时，；

当时，，

当时，因为，

此时，当且仅当，即时，等号成立；

当时，；

综上，直线的斜率的最大值为.

[方法二]：最优解】轨迹方程+数形结合法

同方法一得到点Q的轨迹方程为．

设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．

[方法三]：轨迹方程+换元求最值法

同方法一得点Q的轨迹方程为．

设直线的斜率为k，则．

令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．

[方法四]：参数+基本不等式法

由题可设．

因为，所以．

于是，所以

则直线斜率为．

当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．

【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；

方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；

方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；

方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.

23. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

【23题答案】

【答案】(1)答案见解析；(2) 和.

【解析】

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；

(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.

【详解】(1)由函数的解析式可得：，

导函数的判别式，

当时，在R上单调递增，

当时，的解为：，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

综上可得：当时，在R上单调递增，

当时，在，上

单调递增，在上单调递减.

 (2)由题意可得：，，

则切线方程为：，

切线过坐标原点，则：,

整理可得：，即：，

解得：，则，

切线方程为：,

与联立得，

化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为

解得,

，

综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.

【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.