2022常州金坛区高二下学期期中数学含答案

2022年春学期高二期中质量调研

数学试题

2022.4

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（）.

A. ①②③ B. ③②① C. ②③① D. ①③②

【1题答案】

【答案】A

2. 安排A，B，C三名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排的方法共有（）种.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【2题答案】

【答案】C

3. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】B

4. 某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数的方差是，则（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【4题答案】

【答案】C

5. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】C

6. 现有4名疫情防控志愿者全员参与三个不同的防控岗位，每位志愿者只能参与一个岗位的工作，且每个岗位至少有一名志愿者参与，则参与防控的情况共有（）种.

A. 24 B. 36 C. 48 D. 50

【6题答案】

【答案】B

7. 已知随机变量，若函数为偶函数，则（）

A. 2 B. 1 C. 0 D.

【7题答案】

【答案】B

8. 以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成120°的二面角.若，，其中，则的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 对且，下列等式一定恒成立的是（）.

A.  B.

C.  D.

【9题答案】

【答案】ABC

10. 能被7整除，则整数的值可以是（）

A. 4 B. 6 C. 11 D. 13

【10题答案】

【答案】BD

11. 下列命题中，正确的命题是（）.

A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则

B. 将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍

C. 设随机变量服从正态分布，若，则

D. 若随机变量服从二项分布，则变量的标准差为

【11题答案】

【答案】ACD

12. 如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）

A.

B. 的最小值为

C. 异面直线与的距离是定值

D.

【12题答案】

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中，常数项为___________.

【13题答案】

【答案】16

14. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数是____________（用数字作答）.

【14题答案】

【答案】36

15. 已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.

【15题答案】

【答案】

16. 甲袋中装有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中装有4个红球，3个白球和3个黑球，且所有球的大小和质地均相同.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出一球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是____________.

【16题答案】

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某地区3000名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布，

参考数据：，，.

（1）求；

（2）请判断学生总分落在区间的人数.

【17题答案】

【答案】（1）0.8185

（2）471

19. 若.

（1）求的值；

（2）求的值.

【19题答案】

【答案】（1）；（2）.

20. 如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）试在线段上确定一点，使与所成角是60°.

【20题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）点应在线段的中点处

22. 设甲、乙两人上班，每天之前到班的概率均为，假定甲、乙两人到班的情况互不影响，且任意一人每天到班的情况相互独立.

（1）用表示乙四天中之前到班的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）记事件为“到班的四天中，甲在之前到班的天数比乙在之前到班的天数恰好多天”，求事件发生的概率.

【22题答案】

【答案】（1）分布列见解析，数学期望

（2）

24. 在一次抛硬币游戏中，甲乙两人依次抛掷，每次抛掷出现正面向上和反面向上的概率都是.甲先抛，若抛掷正面向上记1分，抛掷反面向上记-1分.设甲抛掷的得分记为数列，乙抛掷的得分记为数列，数列，的前项和分别为和.

（1）求满足“”的事件的概率.

（2）求满足“，且”的事件的概率.

【24题答案】

【答案】（1）

（2）

26. 如图，四边形是梯形，，，，点是平面外一点，，直线与平面所成角的大小为45°，且平面平面.

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离；

（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【26题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接，得四边形是矩形，得△是等边三角形，取的中点，连接，，可证平面，得证；

（2）证明平面，就是直线与平面所成的角，从而可得，由余弦定理求得．以为坐标原点，、、分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法计算点面距；

（3）在（2）基础上，由空间向量法求二面角．

【小问1详解】

证明：如图，取的中点，连接，

因为，，与平行且相等，是平行四边形，

，所以四边形是矩形，所以.

连接，所以，则△是等边三角形.

取的中点，连接，则.连接，

因为，所以，因为，平面，

所以平面，所以.