2022菏泽高二上学期期末数学试题含答案

2021-2022学年高二上学期教学质量检测

数学试题

2022.1

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

2. 在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

3. 直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（    ）

A. 2 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】C

4. 已知等比数列的前n项和为，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

5. 已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（    ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 锐角三角形 D. 不存在

【答案】A

6. 已知抛物线， 为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于、两点，交准线于、两点，若，，则抛物线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

7. 已知等差数列的前n项和为，，，若（），则n的值为（    ）

A. 15 B. 14 C. 13 D. 12

【答案】B

8. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行．北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．根据安排，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”（离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”）．如图，由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下面四个结论正确的是

A. 向量，若，则．

B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线．

C. 已知向量，，若，则为钝角．

D. 任意向量，，满足．

【答案】AB

10. 已知圆，直线．下列命题正确的有（    ）

A. 直线l与圆C可能相切

B. y轴被圆C截得的弦长为

C. 直线l被圆C截得的最短弦长为

D. 直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为

【答案】BD

11. 如图，已知，分别为双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为，，过，作的垂线，垂足分别为A，B，若四边形的面积为8，则以下选项正确的有（    ）

A.

B. 若，则双曲线方程为

C. 若，则离心率e的范围

D. 延长交于点C，若，则

【答案】AC

12. 若数列满足，，（，），则称数列为Fibonacci数列．该数列是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．下列关于此数列的结论正确的有（    ）

A.

B. 数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列前n项和为，则

C. 记，则数列的前2021项的和为

D.

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，则______（写出一个即可）．

【答案】(答案不唯一)

14. 过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______．

【答案】

15. 如果点在运动过程中，总满足关系式，记满足此条件的点M的轨迹为C，直线与C交于D，E，已知，则周长的最大值为______．

【答案】8

16. 如图，按照以下规律排列的数阵中，第i行从左向右第j个数记为，如，，则______；令则______．

【答案】    ①. 55    ②.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且．

（1）求圆Q的方程；

（2）过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

18. 如图，在长方体中，，，，M为上一点，且．

（1）求点到平面的距离；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）   

（2）

19. 已知等比数列的前n项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，求数列的前n项和．

【答案】（1）；   

（2）．

20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆E于A，B两点．当轴时，．

（1）求椭圆E的方程；

（2）求的范围．

【答案】（1）   

（2）

21. 已知正项数列的首项为，且满足，．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，求数列的前n项和．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

22. 已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点．

（1）求抛物线E的方程；

（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；

（3）证明：内切圆的面积小于．

【答案】（1）；   

（2）存在，1；    （3）证明见解析.