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初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除综合与测试同步达标检测题
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这是一份初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除综合与测试同步达标检测题，共14页。试卷主要包含了下列计算正确的是，计算3＝ ，计算，已知2的值为 等内容，欢迎下载使用。
1．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（ ）
A．520B．502C．250D．205
3．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（5x﹣2ab）（5x+2ab）B．（ax﹣y）（﹣ax﹣y）
C．（﹣ab﹣c）（ab﹣c）D．（m+n）（﹣m﹣n）
4．下列计算正确的是（ ）
A．b6÷b2＝b3B．（a﹣3）2＝a2﹣9
C．D．（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4
5．计算（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3＝ ．
6．（12x3y4+x2y2﹣15x2y3）÷（﹣6xy2）＝ ．
7．计算：（2b﹣3c+4）（3c﹣2b+4）﹣2（b﹣c）2＝ ．
8．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为 ．
9．已知5x＝30，6y＝30，则等于 ．
10．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 立方厘米．
11．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ．
12．如图，一个长方形被分成4个面积不相等的小长方形，其中A、B、的面积分别是A＝160，B＝172，C＝215，（单位：平方厘米）．原来大长方形的面积是 平方厘米．
13．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 ．
14．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
15．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1）通过计算小正方形面积，棵推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为： ．
（2）利用（1）中的结论，试求：当a﹣b＝﹣4，ab＝时，（a+b）2＝ ．
（3）利用（1）中的结论，试求：当（2x﹣500）（400﹣2x）＝1996时，求（4x﹣900）2的值．
16．回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ ＝（x﹣）2+
（2）若a+＝5，则a2+＝ ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
17．阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
18．为探求1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）的值，喜欢研究的小明同学发现有下面三个等式：
1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）
2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）
3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）
他将这三个式子相加得到1×2+2×3+3×4＝×3×4×5．
请你沿着小明的思路继续研究：
（1）填空：计算1×2+2×3+3×4+…+100×101＝ ．
计算1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝ ．
（2）利用（1）的规律计算：2×4+4×6+6×8+…+100×102．
（3）继续研究，计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）的公式（要求仿照小明的思路写出推导过程）．
19．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
20．先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468＝a，则3.1468＝a+3，7.1468＝a+7
原式＝（a+3）（a+7）﹣a2
＝a2+10a+21﹣a2
＝10a+21
把a＝0.1468代入
原式＝10×0.1468+21＝22.468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682＝22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．
21．探究发现：阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：试比较20142015×20142012与20142014×20142013的大小．
解：设20142014＝a，x＝20142015×20142012，
用这种方法不仅可比大小，也能解计算题哟！
y＝20142014×20142013
那么x＝（a+1）（a﹣2），
那么y＝a（a﹣1）
∵x﹣y＝
∴x y（填＞、＜或＝）．
填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！
（1）将上述解答补充完整
x﹣y＝ ；x y（填＞、＜或＝）
（2）计算3.456×2.456×5.456﹣3.4563﹣1.4562．
（3）计算：
（1﹣﹣﹣﹣）（++++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣）（+++）
22．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 （写成多项式相乘的形式）
（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ．
（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．
参考答案
1．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝（24﹣1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝264﹣1﹣1
＝264﹣2，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，
∴2n的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环．
∵64÷4＝16，
∴264﹣2的个位数字是4．
故选：B．
2．解：设较小的奇数为m，则与之相邻的较大的奇数为m+2，
这两个奇数的平方差为：（m+2）2﹣m2＝4m+4，
因此这两个奇数的平方差能被4整除，
而520÷4＝130，502÷4＝125……2，250÷4＝62……2，205÷4＝51……1，
故选：A．
3．解：A．（5x﹣2ab）（5x+2ab）符合平方差公式的结构形式，因此（5x﹣2ab）（5x+2ab）可以用平方差公式进行计算，故不符合题意；
B．（ax﹣y）（﹣ax﹣y）＝（﹣y+ax）（﹣y﹣ax）符合平方差公式的结构形式，可以用平方差公式进行计算，因此不符合题意；
C．（﹣ab﹣c）（ab﹣c）＝（﹣c﹣ab）（﹣c+ab）符合平方差公式的结构形式，可以用平方差公式进行计算，因此不符合题意；
D．（m+n）（﹣m﹣n）＝﹣（m+n）（m+n）不符合平方差公式的结构形式，不可以用平方差公式进行计算，因此符合题意；
故选：D．
4．解：∵b6÷b2＝b4，故选项A错误；
∵（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，故选项B错误；
∵，故选项C错误；
∵（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4，故选项D正确；
故选：D．
5．解：（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3，
＝（﹣9）3×[（﹣）2]3×（）3，
＝[（﹣9）××]3，
＝（﹣6）3，
＝﹣216．
6．解：（12x3y4+x2y2﹣15x2y3）÷（﹣6xy2），
＝（12x3y4）÷（﹣6xy2）+（x2y2）÷（﹣6xy2）﹣（15x2y3）÷（﹣6xy2），
＝﹣2x2y2﹣x+xy．
故应填：﹣2x2y2﹣x+xy．
7．解：（2b﹣3c+4）（3c﹣2b+4）﹣2（b﹣c）2，
＝[（2b﹣3c）+4][﹣（2b﹣3c）+4]﹣2（b﹣c）2，
＝16﹣（2b﹣3c）2﹣2（b﹣c）2，
＝16﹣4b2+12bc﹣9c2﹣2b2+4bc﹣2c2，
＝﹣6b2﹣11c2+16bc+16．
8．解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，
∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2
＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2
＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3
＝4，
∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．
故答案为：10．
9．解：∵5x＝30，6y＝30，
∴5xy＝（5x）y＝30y＝（5×6）y＝5y×6y，
∴＝5xy﹣y＝6y＝30＝5x，
∴5xy﹣y﹣x＝1＝50
∴xy﹣y﹣x＝0，
∴xy＝x+y，
∴＝1．
故答案为：1．
10．解：由题意可得，3秒后该正方体的边长为：10×102×102×102＝107（cm），
故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3），
故答案为：1021．
11．解：设k是正整数，
由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
所以，除1外，所有奇数都是智慧数；
又因为（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
∵（2021+2）÷3＝，
∴2021是第675组的第一个数，
即：4×674+1＝2697．
故答案为：2697．
12．解：如图，设出a，b，c，d，
所以A的面积为ac＝160，B的面积为bc＝172，C的面积为bd＝215，
三式相乘得：ac•bc•bd＝160×172×215，
即ad•（bc）2＝160×172×215，
把bc＝172代入得：ad＝＝200，
所以D的面积为ad＝200，
则原大长方形的面积为：160+172+215+200＝747．
故答案为：747．
13．解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或．
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7；
当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG
＝
＝．
故答案为7或．
14．解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），
由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
得ab＝6，a2+b2＝13，
故答案为：13；
（2）（2a+b）（a+3b）
＝2a2+6ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+3b2，
∴需要以a，b为边的长方形7个，
故答案为：7；
（3）∵ab＝6，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5，
∵（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1，
∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2
＝a2﹣b2+4ab
＝（a+b）（a﹣b）+4ab
＝5+24
＝29．
15．解：（1）根据图形面积可得：（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
故答案为：（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝16+4×＝16+2＝18，故答案为：18；
（3）设A＝2x﹣500，B＝400﹣2x 则A﹣B＝4x﹣900，A+B＝﹣100．
所以（4x﹣900）2＝（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝（﹣100）2﹣4x1996
＝10000﹣7984＝2016．
16．解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣3+＝0，
移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
17．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
18．解：（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101＝（100×101×102）＝343400，
1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝n×（n+1）（n+2），
故答案为：343400，n（n+1）（n+2）；
（2）仿照上述的方法可得，
2×4＝（2×4×6﹣0×2×4），
4×6＝（4×6×8﹣2×4×6），
6×8＝（6×8×10﹣4×6×8），
……
100×102＝（100×102×104﹣98×100×102），
将上式相加得，
2×4+4×6+6×8+…+100×102＝（100×102×104）＝176800；
（3）仿照上述的方法可得，
1×2×3＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3），
2×3×4＝（2×3×4×5﹣1×2×3×4），
3×4×5＝（3×4×5×6﹣2×3×4×5），……
n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，
将上述的式子相加得，
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）＝n（n+1）（n+2）（n+3）．
19．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
20．解：设67897＝a，则67898＝a+1，67896＝a﹣1，67899＝a+2，
则67897×67898﹣67896×67899＝a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2）
＝（a2+a）﹣（a2+a﹣2）＝a2+a﹣a2﹣a+2＝2．
21．解：（1）∵x﹣y＝（a+1）（a﹣2）﹣a（a﹣1）＝a2﹣a﹣2﹣a2+a＝﹣2＜0，
∴x＜y．
故答案是：﹣2＜0，＜；
（2）设3.456＝a，
则原式＝a（a﹣1）（a+2）﹣a3﹣（a﹣2）2＝2a﹣4＝2.912；
（3）设+++＝a，++++＝b，
原式＝（1﹣a）b﹣（1﹣b）a＝b﹣a＝．
22．解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；
（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；
（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+
＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+
＝4（1﹣）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）+
＝4（1﹣）+＝4﹣+＝4．
故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
1．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（ ）
A．520B．502C．250D．205
3．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（5x﹣2ab）（5x+2ab）B．（ax﹣y）（﹣ax﹣y）
C．（﹣ab﹣c）（ab﹣c）D．（m+n）（﹣m﹣n）
4．下列计算正确的是（ ）
A．b6÷b2＝b3B．（a﹣3）2＝a2﹣9
C．D．（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4
5．计算（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3＝ ．
6．（12x3y4+x2y2﹣15x2y3）÷（﹣6xy2）＝ ．
7．计算：（2b﹣3c+4）（3c﹣2b+4）﹣2（b﹣c）2＝ ．
8．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为 ．
9．已知5x＝30，6y＝30，则等于 ．
10．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 立方厘米．
11．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ．
12．如图，一个长方形被分成4个面积不相等的小长方形，其中A、B、的面积分别是A＝160，B＝172，C＝215，（单位：平方厘米）．原来大长方形的面积是 平方厘米．
13．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 ．
14．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
15．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1）通过计算小正方形面积，棵推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为： ．
（2）利用（1）中的结论，试求：当a﹣b＝﹣4，ab＝时，（a+b）2＝ ．
（3）利用（1）中的结论，试求：当（2x﹣500）（400﹣2x）＝1996时，求（4x﹣900）2的值．
16．回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ ＝（x﹣）2+
（2）若a+＝5，则a2+＝ ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
17．阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
18．为探求1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）的值，喜欢研究的小明同学发现有下面三个等式：
1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）
2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）
3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）
他将这三个式子相加得到1×2+2×3+3×4＝×3×4×5．
请你沿着小明的思路继续研究：
（1）填空：计算1×2+2×3+3×4+…+100×101＝ ．
计算1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝ ．
（2）利用（1）的规律计算：2×4+4×6+6×8+…+100×102．
（3）继续研究，计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）的公式（要求仿照小明的思路写出推导过程）．
19．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
20．先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468＝a，则3.1468＝a+3，7.1468＝a+7
原式＝（a+3）（a+7）﹣a2
＝a2+10a+21﹣a2
＝10a+21
把a＝0.1468代入
原式＝10×0.1468+21＝22.468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682＝22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．
21．探究发现：阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：试比较20142015×20142012与20142014×20142013的大小．
解：设20142014＝a，x＝20142015×20142012，
用这种方法不仅可比大小，也能解计算题哟！
y＝20142014×20142013
那么x＝（a+1）（a﹣2），
那么y＝a（a﹣1）
∵x﹣y＝
∴x y（填＞、＜或＝）．
填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！
（1）将上述解答补充完整
x﹣y＝ ；x y（填＞、＜或＝）
（2）计算3.456×2.456×5.456﹣3.4563﹣1.4562．
（3）计算：
（1﹣﹣﹣﹣）（++++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣）（+++）
22．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 （写成多项式相乘的形式）
（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ．
（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．
参考答案
1．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝（24﹣1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝264﹣1﹣1
＝264﹣2，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，
∴2n的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环．
∵64÷4＝16，
∴264﹣2的个位数字是4．
故选：B．
2．解：设较小的奇数为m，则与之相邻的较大的奇数为m+2，
这两个奇数的平方差为：（m+2）2﹣m2＝4m+4，
因此这两个奇数的平方差能被4整除，
而520÷4＝130，502÷4＝125……2，250÷4＝62……2，205÷4＝51……1，
故选：A．
3．解：A．（5x﹣2ab）（5x+2ab）符合平方差公式的结构形式，因此（5x﹣2ab）（5x+2ab）可以用平方差公式进行计算，故不符合题意；
B．（ax﹣y）（﹣ax﹣y）＝（﹣y+ax）（﹣y﹣ax）符合平方差公式的结构形式，可以用平方差公式进行计算，因此不符合题意；
C．（﹣ab﹣c）（ab﹣c）＝（﹣c﹣ab）（﹣c+ab）符合平方差公式的结构形式，可以用平方差公式进行计算，因此不符合题意；
D．（m+n）（﹣m﹣n）＝﹣（m+n）（m+n）不符合平方差公式的结构形式，不可以用平方差公式进行计算，因此符合题意；
故选：D．
4．解：∵b6÷b2＝b4，故选项A错误；
∵（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，故选项B错误；
∵，故选项C错误；
∵（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4，故选项D正确；
故选：D．
5．解：（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3，
＝（﹣9）3×[（﹣）2]3×（）3，
＝[（﹣9）××]3，
＝（﹣6）3，
＝﹣216．
6．解：（12x3y4+x2y2﹣15x2y3）÷（﹣6xy2），
＝（12x3y4）÷（﹣6xy2）+（x2y2）÷（﹣6xy2）﹣（15x2y3）÷（﹣6xy2），
＝﹣2x2y2﹣x+xy．
故应填：﹣2x2y2﹣x+xy．
7．解：（2b﹣3c+4）（3c﹣2b+4）﹣2（b﹣c）2，
＝[（2b﹣3c）+4][﹣（2b﹣3c）+4]﹣2（b﹣c）2，
＝16﹣（2b﹣3c）2﹣2（b﹣c）2，
＝16﹣4b2+12bc﹣9c2﹣2b2+4bc﹣2c2，
＝﹣6b2﹣11c2+16bc+16．
8．解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，
∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2
＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2
＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3
＝4，
∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．
故答案为：10．
9．解：∵5x＝30，6y＝30，
∴5xy＝（5x）y＝30y＝（5×6）y＝5y×6y，
∴＝5xy﹣y＝6y＝30＝5x，
∴5xy﹣y﹣x＝1＝50
∴xy﹣y﹣x＝0，
∴xy＝x+y，
∴＝1．
故答案为：1．
10．解：由题意可得，3秒后该正方体的边长为：10×102×102×102＝107（cm），
故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3），
故答案为：1021．
11．解：设k是正整数，
由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
所以，除1外，所有奇数都是智慧数；
又因为（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
∵（2021+2）÷3＝，
∴2021是第675组的第一个数，
即：4×674+1＝2697．
故答案为：2697．
12．解：如图，设出a，b，c，d，
所以A的面积为ac＝160，B的面积为bc＝172，C的面积为bd＝215，
三式相乘得：ac•bc•bd＝160×172×215，
即ad•（bc）2＝160×172×215，
把bc＝172代入得：ad＝＝200，
所以D的面积为ad＝200，
则原大长方形的面积为：160+172+215+200＝747．
故答案为：747．
13．解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或．
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7；
当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG
＝
＝．
故答案为7或．
14．解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），
由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
得ab＝6，a2+b2＝13，
故答案为：13；
（2）（2a+b）（a+3b）
＝2a2+6ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+3b2，
∴需要以a，b为边的长方形7个，
故答案为：7；
（3）∵ab＝6，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5，
∵（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1，
∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2
＝a2﹣b2+4ab
＝（a+b）（a﹣b）+4ab
＝5+24
＝29．
15．解：（1）根据图形面积可得：（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
故答案为：（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝16+4×＝16+2＝18，故答案为：18；
（3）设A＝2x﹣500，B＝400﹣2x 则A﹣B＝4x﹣900，A+B＝﹣100．
所以（4x﹣900）2＝（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝（﹣100）2﹣4x1996
＝10000﹣7984＝2016．
16．解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣3+＝0，
移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
17．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
18．解：（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101＝（100×101×102）＝343400，
1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝n×（n+1）（n+2），
故答案为：343400，n（n+1）（n+2）；
（2）仿照上述的方法可得，
2×4＝（2×4×6﹣0×2×4），
4×6＝（4×6×8﹣2×4×6），
6×8＝（6×8×10﹣4×6×8），
……
100×102＝（100×102×104﹣98×100×102），
将上式相加得，
2×4+4×6+6×8+…+100×102＝（100×102×104）＝176800；
（3）仿照上述的方法可得，
1×2×3＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3），
2×3×4＝（2×3×4×5﹣1×2×3×4），
3×4×5＝（3×4×5×6﹣2×3×4×5），……
n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，
将上述的式子相加得，
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）＝n（n+1）（n+2）（n+3）．
19．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
20．解：设67897＝a，则67898＝a+1，67896＝a﹣1，67899＝a+2，
则67897×67898﹣67896×67899＝a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2）
＝（a2+a）﹣（a2+a﹣2）＝a2+a﹣a2﹣a+2＝2．
21．解：（1）∵x﹣y＝（a+1）（a﹣2）﹣a（a﹣1）＝a2﹣a﹣2﹣a2+a＝﹣2＜0，
∴x＜y．
故答案是：﹣2＜0，＜；
（2）设3.456＝a，
则原式＝a（a﹣1）（a+2）﹣a3﹣（a﹣2）2＝2a﹣4＝2.912；
（3）设+++＝a，++++＝b，
原式＝（1﹣a）b﹣（1﹣b）a＝b﹣a＝．
22．解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；
（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；
（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+
＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+
＝4（1﹣）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）+
＝4（1﹣）+＝4﹣+＝4．
故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
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