人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案设计

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弧度制新课程标准解读核心素养1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化数学抽象、数学运算2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数的一一对应关系数学抽象3.理解弧度制下弧长与扇形面积公式并能应用数学运算 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念．欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算．[问题]　按照上述定义30°是多少弧度？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．　　　　 知识点二　角度制与弧度制的换算1．弧度数的计算2．弧度与角度的换算1．一个角的度数是否对应一个弧度数？提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　　)(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　)(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　　)(4)1 rad的角比1°的角要大．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　2．(多选)下列转化结果正确的是(　　)A．60°化成弧度是B．－π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－πD.化成度是15°答案：ABD知识点三　扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR；(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2．在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm)．(　　)(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．(　　)答案：(1)×　(2)×2．已知扇形的半径r＝30，圆心角α＝，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．答案：5π　75π角度与弧度的换算[例1]　(链接教科书第173页例4)将下列角度与弧度进行互化：(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.[解]　(1)π＝×180°＝15 330°.(2)－＝－×180°＝－105°.(3)10°＝10×＝.(4)－855°＝－855×＝－.角度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝°；n°＝n· rad.[注意]　用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．　　　　 [跟踪训练]1．把下列弧度化为角度：(1)＝________；(2)－＝________．解析：(1)＝°＝690°.(2)－＝－°＝－390°.答案：(1)690°　(2)－390°2．把下列角度化为弧度：(1)－1 500°＝________； (2)67°30′＝________．解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π.(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.答案：(1)－　(2)用弧度制表示角的集合[例2]　(链接教科书第175页练习3题)把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－；(2)－1 485°.[解]　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．[注意]　(1)注意角度与弧度不能混用；(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.　　　　 [跟踪训练]1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)A．第一象限　　　　　　　 B．第四象限C．x轴上  D．y轴上解析：选D　∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上，故选D.2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)A.B.C.D.(k∈Z)解析：选D　阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)． 扇形的弧长公式及面积公式的应用[例3]　(链接科书第174页例6)若扇形的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形圆心角(正角)的弧度数为(　　)A.  B.C.  D.[解析]　设扇形的半径为r，圆心角为α(0＜α＜2π)，由题意，得由②得，r＝，③把③代入①，得2α2－17α＋8＝0.解得α＝或α＝8(舍去)．故扇形圆心角的弧度数为.[答案]　A关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．　　　　 [跟踪训练]1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π.答案：4　6π2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.扇形的弧长公式的应用如图，点P，Q从点A(4，0)同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.[问题探究]1．点P，Q第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s.2．点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角－的终边与圆相交的位置，∴点P走过的弧长为·4＝，点Q走过的弧长为×4＝.3．若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·－t·＝2π，解得t＝12 s．所以第一次相遇时用了12 s.[迁移应用]某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．设秒针端点A转过的路程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关于时间t(s)的函数，其中t∈[0，60]．解：∵秒针的旋转方向为顺时针，∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad，∴秒针端点A转过的路程为d＝|α|·r＝(cm)，∴形成的扇形面积为S＝|α|·r2＝(cm2)，∴d＝(t∈[0，60])，S＝(t∈[0，60])．1.对应的角度为(　　)A．75°　　　　　　　　　 B．125°C．135°  D．155°解析：选C　由于1 rad＝°，所以＝π×°＝135°，故选C.2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　)A.π cm  B.π cmC.π cm  D.π cm解析：选A　根据弧长公式，得l＝×8＝(cm)．3．与角终边相同的角是(　　)A.B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ－(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)解析：选B　A错误，＝2π＋，与角的终边不同；B正确，2kπ－，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)上的角为，与角有相同的终边；C错误，2kπ－，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同；D错误，(2k＋1)π＋，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同．4.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ<α<2kπ＋π(k∈Z)．答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z}