山东省济南市2022届高三二模数学试题（含答案）

这是一份山东省济南市2022届高三二模数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．－1D．－1或1
2．已知集合，，，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．“a＝3”是“直线ax＋y－3＝0与平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知函数若，则m的值为（ ）
A．B．2C．9D．2或9
5．的展开式中，常数项为（ ）
A．2B．6C．8D．12
6．济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数．第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推．此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（ ）
A．47B．48C．57D．58
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件A＝“第一次抽到的是白球”，事件B＝“第二次抽到的是白球”，则（ ）
A．事件A与事件B互斥B．事件A与事件B相互独立
C．D．
10．下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．B．
C．，D．，
11．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点．M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4B．NF⊥AB
C．△NAB面积的最小值为6D．若直线AB的斜率为，则
12．在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E，F，G，使得平面EFG
B．存在点E，F，G，使得
C．当平面EFG时，三棱锥与C－EFG体积之和的最大值为
D．记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是______（写出一个满足条件的m值即可）．
14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，若，，则双曲线的离心率为______．
15．在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为______．
16．已知函数，则函数的最小值为______；若关于x的方程有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是______．（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列．
18．（12分）
已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＋C＝2B，△ABC的面积．
（1）求边c；
（2）若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．
19．（12分）
在底面为正三角形的三棱柱中，平面ABC⊥平面，，．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）
已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）删去数列中的第项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和．
21．（12分）
已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率．
22．（12分）
已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线在y轴上的截距为－1，求a的值；
（2）是否存在实数t，使得有且仅有一个实数a，当时，不等式恒成立？若存在，求出t，a的值；若不存在，说明理由．
2022年高三模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．7或8或9或10（填上述4个数中任意一个均可）；
14．；15．；16．2a，（第一空2分，第二空3分）．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】
（1）由已知得：．
（2）因为购买一件产品，其质量指标值位于内的概率为0.2，
所以，所以X＝0，1，2，3．
，
，
，
，
所以X的分布列为
18．【解析】
（1）因为A＋C＝2B，，所以；
因为，所以c＝1．
（2）在△ABC中，由正弦定理，
由（1）知，c＝1，代入上式得：，
因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，
所以．
19．【解析】
（1）因为，，
所以，则，
所以，即；
因为平面ABC∥平面，平面ABC⊥平面
所以平面平面，
因为平面平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）如图，以为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，取x＝1，则，
又因为x轴⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
20．【解析】
（1）设数列的公差为，数列的公比为q，
由已知得，解得，d＝3，所以；
所以，，所以．
（2）由题意可知新数列为：，，，，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时
，
综上：．
21．【解析】
（1）由题意可知，c＝1，
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，
解得，所以（舍），，
所以椭圆方程为．
（2）设，，，，，
因为，所以，即，
又，都在椭圆上，
所以，，
即，
②－①得，
即……③，
又，同理得……④
④－③得，
所以．
22．【解析】
（1）由题意，，又因为，
所以在处的切线方程为，
即，
由题意知，，
因为，所以1－a＝0，a＝1．
（2），恒成立，即恒成立．
令，，
当时，恒成立，
所以在上单调递增．
故当时，，只需即可．与有且仅有一个实数a矛盾，不符合题意；
当时，令，得，
当时，即时，在上单调递增，则；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
综上， ①，， ②；
由题意知，上述不等式关于a有唯一解．
（ⅰ）若，对于①式，无解．
对于②式，令，，
，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故只需即可，
解得，此时，符合题意；
（ⅱ）若t＝1，对于①式，a＝1，
对于②式，，当时成立，不合题意；
（ⅲ）若，对于①式，时均成立，不合题意；
综上所述，当时，存在唯一的，使得恒成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
C
D
A
D
C
题号
9
10
11
12
答案
CD
ABC
ABD
ACD
X
0
1
2
3
P
0.512
0.384
0.096
0.008