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初中数学第一章 整式的乘除综合与测试同步达标检测题
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这是一份初中数学第一章 整式的乘除综合与测试同步达标检测题，共27页。
2021学年北师大版七年级数学下册《第1章整式的乘除的应用》优生辅导训练2（附答案）
1．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于 ．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
2．如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式；
（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片， 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为 ；
（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n＝10，mn＝19，求阴影部分的面积．
3．将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片长为a，宽为b），请你仔细观察图形，解答下列问题：
（1）a和b之间的关系满足 ．
（2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是 ．
（3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据它面积的不同表示方法，请你写出（a﹣b）2与（a+b）2，ab三个代数式之间的等量关系 ；
应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值．
4．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长等于多少？
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．
（3）根据（2）中的等量关系解决下面问题，若a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
5．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：3×9﹣2×10＝7，6×12﹣5×13＝7，不难发现，结果都是7．
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
6．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1）通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为： ．
（2）利用（1）中的结论，试求：当a+b＝4，ab＝时，（a﹣b）2＝ ．
（3）利用（1）中的结论，试求：当（2x﹣50）（40﹣2x）＝16时，求（4x﹣90）2的值．
7．如图是用一些小长方形和小正方形拼成的一个大正方形．
①在图①中根据图形面积的关系写出一个用乘法公式计算的等式；
②如果a﹣b＝3，a2+b2＝15，试求图②中阴影部分的面积．
8．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：S阴影＝ ．
方法2：S阴影＝ ．
（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为 ．
（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）2＝6，则mn的值为 ．
②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
9．已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）用含m，a，b的式子表示S1和S2；
（2）若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
10．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．
11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
12．某地产公司为了吸引年轻人购房，持推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．
户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．
户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．
解答下列问题：
（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．
（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．
13．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；
（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积．
14．如图①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1和S2．
（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；
（3）用这个乘法公式计算：
①（x﹣）（x+）（x2+）；
②107×93．
15．探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题
（4）计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
（5）若4x2﹣9y2＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值．
16．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 证明上述速算方法的正确性．
17．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
18．已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．
（1）如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，请用两种不同方法求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．
（2）如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，求阴影部分S3的面积．
（3）如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DF＝GF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形EFC的面积，写出求解过程．
19．[知识生成]：通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1： ；方法2： ；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，则（x﹣y）2＝ ；
[知识迁移]：类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式： ；
（6）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
20．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值，”通常的解题方法是把x看作未知数，a，y看作已知数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0．则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，试求m的值；
（2）6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，如果当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足的关系是什么？
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，用6张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙，无重叠拼接），则当x+y的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x，y的值．
21．阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
22．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
23．阅读理解：“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．
解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，
则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，
那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
解决问题：
（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；
（2）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中长方形MFNP的面积．（结果是一个具体的数值）．
24．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，左右两边修两条宽为a米的道路．（a＞0，b＞0）
（1）①试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
②假设阴影部分可以拼成一个矩形，请你求出所拼矩形相邻两边的长；如果要使所拼矩形面积最大，求a与b满足的关系式；
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．
25．如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为 ；则x+y的值为 ；
（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为 ；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为 ；
（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．
26．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ．
（2）从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论： ．
（3）运用你所得到的结论，解决问题：已知（x+y）2＝25，xy＝3，求x2+y2的值．
参考答案
1．解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b；
故答案为：4a﹣4b；
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）2，
大正方形边长为a+b，故面积也可表达为：（a+b）2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
∵m﹣n＝4，mn＝﹣3；
∴（m+n）2＝42+4×（﹣3）＝16﹣12＝4；
∴m+n＝2或﹣2；
（4）设AC＝a，BC＝b；
∵AB＝8，S1+S2＝26；
∴a+b＝8，a2+b2＝26；
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
∴＝．
2．解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）由面积拼图可知a2+10ab+25b2＝（a+5b）2，
故答案为：25，（a+5b），
（3）由图形面积之间的关系可得，
S阴影＝m2﹣n（m﹣n）＝m2﹣mn+n2＝[（m+n）2﹣3mn]
＝（102﹣3×19）＝．
3．解：（1）由大长方形的长的不同拼图可得，4a＝3a+3b，即a＝3b，
故答案为：a＝3b；
（2）由于a＝3b，大长方形的长为4a＝12b，宽为a+3b＝6b，因此面积为12b×6b＝72b2；
阴影部分的面积为3（a﹣b）2＝3（2b）2＝12b2；
因此其比值为＝，
故答案为：；
（3）如图，阴影正方形的边长为（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，
正方形ABCD的边长为（a+b），因此面积为（a+b）2，
四个小矩形的面积为4ab，
因此有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
把：x+y＝5，xy＝代入得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣9＝16，
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．
4．解：（1）根据拼图可知，阴影正方形的边长为（a﹣b），
（2）阴影正方形的边长为（a﹣b），因此S阴影正方形的面积＝（a﹣b）2，
S阴影正方形的面积＝S大正方形的面积﹣S图1的面积＝（a+b）2﹣4ab，
故有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
当a+b＝5，ab＝3时，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝25﹣12＝13．
即（a﹣b）2的值为13．
5．解：（1）8×14﹣7×15＝7；
5×11﹣4×12＝7（答案不唯一）；
（2）证明：其它三个分别为a+1，a+7，a+8，则
（a+1）（a+7）﹣a（a+8）
＝a2+8a+7﹣a2﹣8a
＝7．
6．解：（1）根据小正方形的面积可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；
故答案为：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；
（2），
故答案为：14．
（3）设A＝2x﹣50，B＝40﹣2x 则A﹣B＝4x﹣90，A+B＝﹣10，A×B＝16．
所以（4x﹣90）2＝（A﹣B）2
＝（A+B）2﹣4AB
＝（﹣10）2﹣4×16
＝100﹣64
＝36．
7．解：①大正方形的面积＝（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；
②∵a﹣b＝3，a2+b2＝15，
∴（a﹣b）2＝9，
a2﹣2ab+b2＝9，
∴15﹣2ab＝9，
ab＝3，
∴图②中阴影部分的面积＝a×2b+＝a（2b+b）＝ab＝．
8．解：（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，
方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，
故答案为：4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；
（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）①由（2）得，（2m+n）2﹣（2m﹣n）2＝8mn＝14﹣6＝8，
∴mn＝1，
故答案为：1；
②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，
∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．
9．解：（1）∵MD＝AD﹣AM＝m﹣3b；MN＝a，
∴S1＝MD•MN＝（m﹣3b）•a＝ma﹣3ab，
∵EF＝EP﹣FP＝m﹣a，FG＝4b，
∴S2＝EF•FG＝（m﹣a）•4b＝4bm﹣4ab；
（2）S1﹣S2＝ma﹣3ab﹣4bm+4ab
＝ab+ma﹣4bm
＝ab+m（a﹣4b），
∵S1﹣S2的值与m的取值无关，
∴a﹣4b＝0，
即a＝4b，
所以a，b满足的数量关系a＝4b．
10．解：（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；
∵图②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2
∵图②可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形，
∴S＝a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16，
即a2+b2+2ab＝16．
又∵a2+b2＝10，
∴ab＝3；
②设x﹣2019＝a，
则x﹣2020＝a﹣1，
x﹣2018＝a+1，
∵（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝52，
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝52，
解得a2＝25，
即（x﹣2019）2＝25，
∴x﹣2019＝±5．
11．解：（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，
∴S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
∴S正方形＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（3）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝13，
∴ab＝6；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，
∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy＝＝＝﹣2，
即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；
12．解：（1）∵M＝a2﹣a（a﹣b）＝a2﹣a2+ab＝ab，N＝（a+b）2﹣a2﹣b（a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab+b2＝ab+2b2，
∴M﹣N＝ab﹣（ab+2b2）＝﹣2b2，
∵9b＞0，
∴﹣2b2＜0，
∴M﹣N＜0，
∴M＜N；
（2）户型一：万元，
户型二：万元，
∴﹣
＝
＝
＝，
∵0＜9b＜a，
∴a﹣9b＞0，a﹣b＞0，
∴＞0，
∴户型二的单价较低．
13．解：（1）方法一：两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法二：边长为a+b的正方形的面积减去两个空白的长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，
因此有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
（2）图②阴影部分的面积是两个边长分别为a、b的正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，
即a2+b2﹣a×a﹣（a+b）×b
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]，
当a+b＝ab＝9时，
原式＝×（81﹣27）＝27，
答：阴影部分的面积为27．
14．解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）①原式＝（x2﹣）（x2+）＝x4﹣；
②107×93＝（100+7）（100﹣7）＝1002﹣72＝10000﹣49＝9951．
15．解：（1）S阴影部分＝S大正方形﹣S小正方形＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），
所以S阴影部分＝S长方形＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）、（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝（a+b）2﹣（2c）2，
＝a2+2ab+b2﹣4c2；
（5）∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝10，
4x+6y＝4，
∴2x+3y＝2，
∴2x﹣3y＝10÷2＝5，
故2x﹣3y的值为5．
16．解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．
（2）几何图形如图所示：
拓展应用：
（1）①几何模型：
②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；
即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
17．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
18．解：（1）①；②S1＝（a+b）（b﹣a）；
（2）S1＝4＝（a+b）（b﹣a），又因为S2＝1，所以BE＝1，即b﹣a＝1，所以a+b＝4；所以，解得：．
S3表示边长为（2a﹣b）的正方形的面积，所以，所以．
（3）如图，记AD与HF的交点为M，AD与HE交于点N．
GFEH为正方形，HF为对角线，
∴∠ADF＝90°∠DFM＝45°
∴△DMF为等腰直角三角形，
则NE＝DF＝DM＝，
FC＝b﹣a，
＝＝＝3．
．
19．解：（1）由拼图可得，中间小正方形的边长为a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）方法1，直接根据正方形的面积公式得，（a﹣b）2，
方法2，大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣22＝14；
故答案为：14；
（5）根据体积的不同计算方法可得；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（6）a+b＝3，ab＝1，
∴＝＝＝9．
20．解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵此代数式的值与x无关，则2m﹣3＝0，
解得：；
（2）设BC＝n，
令左上角矩形面积为S1，右下角矩形面积为S2，
S1＝a（n﹣4b），S2＝2b（n﹣a），
S＝S1﹣S2＝a（n﹣4b）﹣2b（n﹣a）＝（a﹣2b）n﹣2ab，
∵当BC的长度变化时，S的值不变，
∴S的取值与n无关，
∴a﹣2b＝0，
即a＝2b；
（3）由题意得：拼成一个大的正方形的面积＝6ab+a2x+b2y，
由（2）知：a＝2b，
∴6ab+a2x+b2y＝6•2b•b+（2b）2x+b2y＝b2（4x+y+12），
因为大正方形的边长一定是b的整数倍，
∴4x+y+12是平方数，
∵x，y都是正整数，
∴4x+y+12最小是25，即4x+y＝13，
∴x＝1，y＝9或x＝2，y＝5或x＝3，y＝1，
此时6ab+a2x+b2y＝b2（4x+y+12）＝25b2，
则当x+y的值最小时，拼成的大的正方形的边长为5b，此时x＝3，y＝1．
21．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
22．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
23．解：（1）设40﹣x＝a，x﹣30＝b，则（40﹣x）（x﹣30）＝ab＝20，
∵a+b＝（40﹣x）+（x﹣30）＝10，
∴（40﹣x）2+（x﹣30）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝100﹣40
＝60；
（2）S矩形EFGD＝（x﹣14）（x﹣30）＝200，
设x﹣14＝a，x﹣30＝b，则（x﹣14）（x﹣30）＝ab＝200，且a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16，
则S阴影＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝256+800＝1056．
24．解：（1）①绿化的面积为：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2﹣a（3a+b﹣a﹣b）
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2﹣2a2
＝（3a2+3ab）平方米；
答：绿化的面积是（3a2+3ab）平方米；
②如图，∵3a2+3ab＝3a（a+b），
∴所拼矩形相邻两边的长分别为3a米和（a+b）米；
所以要使所拼矩形面积最大，
3a＝a+b，
所以2a＝b；
（2）当a＝3，b＝2，
绿化面积是3a2+3ab＝3×9+3×3×2＝45（平方米）．
25．解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，
又∵x＞y＞0，
∴x+y＝6，x﹣y＝2，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，
∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，
∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，
故答案为：5，17；
（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：
由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，
由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
（a﹣b）2+ab×4＝c2，
即a2+b2＝c2．
26．解：（1）方法1，两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，大正方形的面积减去两个长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）根据方法1与方法2所表示的面积相等得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）∵xy＝3，
∴xy＝6，
又∵（x+y）2＝25，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣12＝13
2021学年北师大版七年级数学下册《第1章整式的乘除的应用》优生辅导训练2（附答案）
1．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于 ．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
2．如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式；
（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片， 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为 ；
（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n＝10，mn＝19，求阴影部分的面积．
3．将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片长为a，宽为b），请你仔细观察图形，解答下列问题：
（1）a和b之间的关系满足 ．
（2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是 ．
（3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据它面积的不同表示方法，请你写出（a﹣b）2与（a+b）2，ab三个代数式之间的等量关系 ；
应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值．
4．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长等于多少？
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．
（3）根据（2）中的等量关系解决下面问题，若a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
5．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：3×9﹣2×10＝7，6×12﹣5×13＝7，不难发现，结果都是7．
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
6．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1）通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为： ．
（2）利用（1）中的结论，试求：当a+b＝4，ab＝时，（a﹣b）2＝ ．
（3）利用（1）中的结论，试求：当（2x﹣50）（40﹣2x）＝16时，求（4x﹣90）2的值．
7．如图是用一些小长方形和小正方形拼成的一个大正方形．
①在图①中根据图形面积的关系写出一个用乘法公式计算的等式；
②如果a﹣b＝3，a2+b2＝15，试求图②中阴影部分的面积．
8．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：S阴影＝ ．
方法2：S阴影＝ ．
（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为 ．
（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）2＝6，则mn的值为 ．
②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
9．已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）用含m，a，b的式子表示S1和S2；
（2）若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
10．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．
11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
12．某地产公司为了吸引年轻人购房，持推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．
户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．
户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．
解答下列问题：
（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．
（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．
13．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；
（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积．
14．如图①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1和S2．
（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；
（3）用这个乘法公式计算：
①（x﹣）（x+）（x2+）；
②107×93．
15．探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题
（4）计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
（5）若4x2﹣9y2＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值．
16．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 证明上述速算方法的正确性．
17．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
18．已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．
（1）如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，请用两种不同方法求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．
（2）如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，求阴影部分S3的面积．
（3）如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DF＝GF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形EFC的面积，写出求解过程．
19．[知识生成]：通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1： ；方法2： ；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，则（x﹣y）2＝ ；
[知识迁移]：类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式： ；
（6）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
20．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值，”通常的解题方法是把x看作未知数，a，y看作已知数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0．则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，试求m的值；
（2）6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，如果当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足的关系是什么？
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，用6张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙，无重叠拼接），则当x+y的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x，y的值．
21．阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
22．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
23．阅读理解：“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．
解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，
则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，
那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
解决问题：
（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；
（2）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中长方形MFNP的面积．（结果是一个具体的数值）．
24．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，左右两边修两条宽为a米的道路．（a＞0，b＞0）
（1）①试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
②假设阴影部分可以拼成一个矩形，请你求出所拼矩形相邻两边的长；如果要使所拼矩形面积最大，求a与b满足的关系式；
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．
25．如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为 ；则x+y的值为 ；
（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为 ；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为 ；
（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．
26．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ．
（2）从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论： ．
（3）运用你所得到的结论，解决问题：已知（x+y）2＝25，xy＝3，求x2+y2的值．
参考答案
1．解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b；
故答案为：4a﹣4b；
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）2，
大正方形边长为a+b，故面积也可表达为：（a+b）2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
∵m﹣n＝4，mn＝﹣3；
∴（m+n）2＝42+4×（﹣3）＝16﹣12＝4；
∴m+n＝2或﹣2；
（4）设AC＝a，BC＝b；
∵AB＝8，S1+S2＝26；
∴a+b＝8，a2+b2＝26；
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
∴＝．
2．解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）由面积拼图可知a2+10ab+25b2＝（a+5b）2，
故答案为：25，（a+5b），
（3）由图形面积之间的关系可得，
S阴影＝m2﹣n（m﹣n）＝m2﹣mn+n2＝[（m+n）2﹣3mn]
＝（102﹣3×19）＝．
3．解：（1）由大长方形的长的不同拼图可得，4a＝3a+3b，即a＝3b，
故答案为：a＝3b；
（2）由于a＝3b，大长方形的长为4a＝12b，宽为a+3b＝6b，因此面积为12b×6b＝72b2；
阴影部分的面积为3（a﹣b）2＝3（2b）2＝12b2；
因此其比值为＝，
故答案为：；
（3）如图，阴影正方形的边长为（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，
正方形ABCD的边长为（a+b），因此面积为（a+b）2，
四个小矩形的面积为4ab，
因此有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
把：x+y＝5，xy＝代入得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣9＝16，
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．
4．解：（1）根据拼图可知，阴影正方形的边长为（a﹣b），
（2）阴影正方形的边长为（a﹣b），因此S阴影正方形的面积＝（a﹣b）2，
S阴影正方形的面积＝S大正方形的面积﹣S图1的面积＝（a+b）2﹣4ab，
故有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
当a+b＝5，ab＝3时，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝25﹣12＝13．
即（a﹣b）2的值为13．
5．解：（1）8×14﹣7×15＝7；
5×11﹣4×12＝7（答案不唯一）；
（2）证明：其它三个分别为a+1，a+7，a+8，则
（a+1）（a+7）﹣a（a+8）
＝a2+8a+7﹣a2﹣8a
＝7．
6．解：（1）根据小正方形的面积可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；
故答案为：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；
（2），
故答案为：14．
（3）设A＝2x﹣50，B＝40﹣2x 则A﹣B＝4x﹣90，A+B＝﹣10，A×B＝16．
所以（4x﹣90）2＝（A﹣B）2
＝（A+B）2﹣4AB
＝（﹣10）2﹣4×16
＝100﹣64
＝36．
7．解：①大正方形的面积＝（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；
②∵a﹣b＝3，a2+b2＝15，
∴（a﹣b）2＝9，
a2﹣2ab+b2＝9，
∴15﹣2ab＝9，
ab＝3，
∴图②中阴影部分的面积＝a×2b+＝a（2b+b）＝ab＝．
8．解：（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，
方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，
故答案为：4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；
（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）①由（2）得，（2m+n）2﹣（2m﹣n）2＝8mn＝14﹣6＝8，
∴mn＝1，
故答案为：1；
②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，
∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．
9．解：（1）∵MD＝AD﹣AM＝m﹣3b；MN＝a，
∴S1＝MD•MN＝（m﹣3b）•a＝ma﹣3ab，
∵EF＝EP﹣FP＝m﹣a，FG＝4b，
∴S2＝EF•FG＝（m﹣a）•4b＝4bm﹣4ab；
（2）S1﹣S2＝ma﹣3ab﹣4bm+4ab
＝ab+ma﹣4bm
＝ab+m（a﹣4b），
∵S1﹣S2的值与m的取值无关，
∴a﹣4b＝0，
即a＝4b，
所以a，b满足的数量关系a＝4b．
10．解：（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；
∵图②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2
∵图②可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形，
∴S＝a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16，
即a2+b2+2ab＝16．
又∵a2+b2＝10，
∴ab＝3；
②设x﹣2019＝a，
则x﹣2020＝a﹣1，
x﹣2018＝a+1，
∵（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝52，
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝52，
解得a2＝25，
即（x﹣2019）2＝25，
∴x﹣2019＝±5．
11．解：（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，
∴S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
∴S正方形＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（3）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝13，
∴ab＝6；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，
∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy＝＝＝﹣2，
即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；
12．解：（1）∵M＝a2﹣a（a﹣b）＝a2﹣a2+ab＝ab，N＝（a+b）2﹣a2﹣b（a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab+b2＝ab+2b2，
∴M﹣N＝ab﹣（ab+2b2）＝﹣2b2，
∵9b＞0，
∴﹣2b2＜0，
∴M﹣N＜0，
∴M＜N；
（2）户型一：万元，
户型二：万元，
∴﹣
＝
＝
＝，
∵0＜9b＜a，
∴a﹣9b＞0，a﹣b＞0，
∴＞0，
∴户型二的单价较低．
13．解：（1）方法一：两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法二：边长为a+b的正方形的面积减去两个空白的长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，
因此有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
（2）图②阴影部分的面积是两个边长分别为a、b的正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，
即a2+b2﹣a×a﹣（a+b）×b
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]，
当a+b＝ab＝9时，
原式＝×（81﹣27）＝27，
答：阴影部分的面积为27．
14．解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）①原式＝（x2﹣）（x2+）＝x4﹣；
②107×93＝（100+7）（100﹣7）＝1002﹣72＝10000﹣49＝9951．
15．解：（1）S阴影部分＝S大正方形﹣S小正方形＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），
所以S阴影部分＝S长方形＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）、（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝（a+b）2﹣（2c）2，
＝a2+2ab+b2﹣4c2；
（5）∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝10，
4x+6y＝4，
∴2x+3y＝2，
∴2x﹣3y＝10÷2＝5，
故2x﹣3y的值为5．
16．解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．
（2）几何图形如图所示：
拓展应用：
（1）①几何模型：
②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；
即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
17．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
18．解：（1）①；②S1＝（a+b）（b﹣a）；
（2）S1＝4＝（a+b）（b﹣a），又因为S2＝1，所以BE＝1，即b﹣a＝1，所以a+b＝4；所以，解得：．
S3表示边长为（2a﹣b）的正方形的面积，所以，所以．
（3）如图，记AD与HF的交点为M，AD与HE交于点N．
GFEH为正方形，HF为对角线，
∴∠ADF＝90°∠DFM＝45°
∴△DMF为等腰直角三角形，
则NE＝DF＝DM＝，
FC＝b﹣a，
＝＝＝3．
．
19．解：（1）由拼图可得，中间小正方形的边长为a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）方法1，直接根据正方形的面积公式得，（a﹣b）2，
方法2，大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣22＝14；
故答案为：14；
（5）根据体积的不同计算方法可得；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（6）a+b＝3，ab＝1，
∴＝＝＝9．
20．解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵此代数式的值与x无关，则2m﹣3＝0，
解得：；
（2）设BC＝n，
令左上角矩形面积为S1，右下角矩形面积为S2，
S1＝a（n﹣4b），S2＝2b（n﹣a），
S＝S1﹣S2＝a（n﹣4b）﹣2b（n﹣a）＝（a﹣2b）n﹣2ab，
∵当BC的长度变化时，S的值不变，
∴S的取值与n无关，
∴a﹣2b＝0，
即a＝2b；
（3）由题意得：拼成一个大的正方形的面积＝6ab+a2x+b2y，
由（2）知：a＝2b，
∴6ab+a2x+b2y＝6•2b•b+（2b）2x+b2y＝b2（4x+y+12），
因为大正方形的边长一定是b的整数倍，
∴4x+y+12是平方数，
∵x，y都是正整数，
∴4x+y+12最小是25，即4x+y＝13，
∴x＝1，y＝9或x＝2，y＝5或x＝3，y＝1，
此时6ab+a2x+b2y＝b2（4x+y+12）＝25b2，
则当x+y的值最小时，拼成的大的正方形的边长为5b，此时x＝3，y＝1．
21．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
22．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
23．解：（1）设40﹣x＝a，x﹣30＝b，则（40﹣x）（x﹣30）＝ab＝20，
∵a+b＝（40﹣x）+（x﹣30）＝10，
∴（40﹣x）2+（x﹣30）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝100﹣40
＝60；
（2）S矩形EFGD＝（x﹣14）（x﹣30）＝200，
设x﹣14＝a，x﹣30＝b，则（x﹣14）（x﹣30）＝ab＝200，且a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16，
则S阴影＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝256+800＝1056．
24．解：（1）①绿化的面积为：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2﹣a（3a+b﹣a﹣b）
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2﹣2a2
＝（3a2+3ab）平方米；
答：绿化的面积是（3a2+3ab）平方米；
②如图，∵3a2+3ab＝3a（a+b），
∴所拼矩形相邻两边的长分别为3a米和（a+b）米；
所以要使所拼矩形面积最大，
3a＝a+b，
所以2a＝b；
（2）当a＝3，b＝2，
绿化面积是3a2+3ab＝3×9+3×3×2＝45（平方米）．
25．解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，
又∵x＞y＞0，
∴x+y＝6，x﹣y＝2，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，
∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，
∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，
故答案为：5，17；
（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：
由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，
由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
（a﹣b）2+ab×4＝c2，
即a2+b2＝c2．
26．解：（1）方法1，两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，大正方形的面积减去两个长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）根据方法1与方法2所表示的面积相等得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）∵xy＝3，
∴xy＝6，
又∵（x+y）2＝25，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣12＝13
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