2021-2022学年河南省新乡市某校实验学校高二（下）期中考试数学试卷人教A版

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2021-2022学年河南省新乡市某校实验学校高二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 设z=1−i1+i+2i，则|z|=(        ) A.0 B.12 C.1 D.2 2. 下列关于回归分析的说法中错误的是（        ） A.回归直线一定过样本中心x,yB.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C.甲、乙两个模型的R2分别约为0.97和0.82，则模型乙的拟合效果更好D.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 3. 用反证法证明“若x−12+y−12=0，则x=1且y=1”时，应假设（        ） A.x≠1且y≠1 B.x=1且y≠1 C.x=1或y=1 D.x≠1或y≠1 4. 某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数y与平均气温x​∘C的数据如下表，由表中数据算得线性回归方程y=bx+a中的b=4，预测当平均气温为35∘C时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（        ）A.57 B.59 C.61 D.65 5. 执行如图的程序框图，若输入的S=−20，则输出的S的值为(        ) A.0  B.5 C.6  D.10 6. 正切函数是奇函数， fx=tanx2+2是正切函数，因此fx=tanx2+2是奇函数，以上推理（        ） A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.以上均不正确 7. 设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的(        ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=(        ) A.28 B.76 C.123 D.199 9. 正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是(        ) A.245 B.285 C.5 D.6 10. 已知两条曲线的参数方程C1 x=5cosθy=5sinθ（θ为参数）和C2 x=4+tcos45∘y=3+tsin45∘（t为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（        ） A.5 B.52 C.7 D.72 11. 给出下列三个类比结论．①(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn；②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a→+b→)2类比，则有(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2；其中结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 12. 已知点Mx,y满足 x+y−4≤0x−y≤0x≥1 ，点N是圆x2+y2=1上一动点，则|MN|的取值范围为（        ） A.(0,10+1] B.2−1,10+1 C.2,22 D.2−1,22二、填空题  在极坐标系中，点2,π6到直线ρcosθ=2的距离为________.   设复数z满足|z+1|=|z−1−i|，则z在复平面内对应的点Zx,y的轨迹方程为________．   两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5，9，14，20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2016个梯形数为a2016，则a2016=        .   若ab2，②a3>b3，③1a<1b，④ab>1，⑤1a−b>1a，⑥|a|>−b中，正确结论的序号是________. 三、解答题  已知复数z满足1+iz=1−3i（i为虚数单位） (1)若复数1+aiz是纯虚数，求实数a的值； (2)若复数z的共轭复数为z，求复数zz+1的模．      (1)求证6+7≥22+5； (2)若x，y都是正实数，且x+y>2，求证：1+xy<2与1+yx<2中至少有一个成立.  2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下： (1)根据上表说明，能否有99%的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？ (2)现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者．若从这8人中随机选取2人到场馆参加志愿者服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率．附:K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.  某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的特斯拉汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示. (1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数和中位数（精确到0.01） (2)统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据x1,y1,x2,y2，..., xn,yn，其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx.  设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l:y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B. (1)求椭圆C的方程； (2)若原点O到直线l的距离为32，求△ABO面积的最大值．  在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x=12t，y=32t−1（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ=22sinπ4+θ． (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)设点P(0,−1)，若直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|+|PB|的值．参考答案与试题解析2021-2022学年河南省新乡市某校实验学校高二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ z=(1−i)2+2i(1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i2=i，∴ |z|=02+12=1.故选C.2.【答案】C【考点】求解线性回归方程相关系数回归分析【解析】此题暂无解析【解答】A选项，回归直线一定过样本中心x,y，A选项正确；B选项，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确；C选项，甲、乙两个模型的R2分别约为0.97和0.82，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误；D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D选项正确；故选：C．3.【答案】D【考点】反证法与放缩法【解析】此题暂无解析【解答】用反证法证明“若x−12+y−12=0，则x=1且y=1"时，可以设其结论的否定成立，所以应假设x≠1或y≠1故选：D．4.【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】本题考查线性回归分析的基本思想．【解答】解：根据表格中的数据可求得x=14×22+26+29+32=27.25，y=14×12+25+27+56=30．∴ a=y−bx=30−4×27.25=−79，y=4x−79，当x=35时，y=4×35−79=61．故选C．5.【答案】D【考点】程序框图【解析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：初始值：S=−20， n=1，第一次循环， S=−18，n=2，不满足S>n；第二次循环， S=−14，n=3，不满足S>n；第三次循环：S=−8，n=4，不满足S>n；第四次循环，S=0，n=5，不满足S>n；第五次循环，S=10，n=6，满足S>n，退出循环，输出S=10.故选D.6.【答案】C【考点】演绎推理的基本方法【解析】此题暂无解析【解答】大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提： fx=tanx2+2是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论： fx=tanx2+2是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确．故答案选C7.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由|x−2|<1得10得x<−2或x>1.所以“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分而不必要条件．故选A．8.【答案】C【考点】归纳推理【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123．故选C．9.【答案】C【考点】基本不等式【解析】已知式子可化为15y+35x=1，进而可得3x+4y=(3x+4y)(15y+35x)135+3x5y+12y5x，由基本不等式可得．【解答】解：∵ 正数x，y满足x+3y=5xy，∴ x+3y5xy=1，即15y+35x=1，∴ 3x+4y=(3x+4y)(15y+35x)=135+3x5y+12y5x≥135+23x5y⋅12y5x=5，当且仅当3x5y=12y5x，即x=1，y=12时取等号，∴ 3x+4y的最小值为5.故选C.10.【答案】D【考点】参数方程与普通方程的互化直线的参数方程【解析】此题暂无解析【解答】D11.【答案】B【考点】类比推理【解析】分别利用运算的法则：①利用乘方的运算法则；②利用三角函数的运算法则；③利用幂的运算法则；逐个进行验证，判断每个小题的正误．【解答】解：根据乘方的运算法则知：(a+b)n≠an+bn，①不正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据幂的运算法则知：(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2，③正确；故选B．12.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：画出可行域，如图所示，其中A1,1,B1,3，点N为x−y=0与圆的交点（靠近A的交点），点M与点A重合时， |MN|取得最小值，此时|MN|min=OA−ON=1+1−1=2−1，连接OB并延长，交圆于点N1，且点B与M重合时， |MN|取得最大值，此时|MN|max=OB+ON1=1+9+1=10+1，故|MN|的取值范围是2−1,10+1二、填空题【答案】2−3【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】极坐标系中点2,π6对应的直角坐标为3,1极坐标系中直线ρcosθ=2对应直角坐标系中直线x=2故所求距离为2−3故答案为2−3【答案】4x+2y−1=0【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的模【解析】本题考查复数的运算和几何意义．【解答】解：由题可知z=x+yi，则x+12+y2=x−12+y−12，化简得4x+2y−1=0．故答案为：4x+2y−1=0．【答案】2037170【考点】数列的求和归纳推理【解析】观察梯形数的前几项，归纳得an=2+3+⋯+n+2，结合等差数列前n项和公式得an=12n+1(n+4)，由此可得a2016的值【解答】解：观察梯形数的前几项，得5=2+3=a1，9=2+3+4=a2，14=2+3+4+5=a3，an=2+3+⋯+n+2=n+12+n+22=12n+1n+4，由此可得a2016=2+3+4+5+⋯+2017+2018=12×2017×2020=2037170.故答案为：2037170.【答案】①④⑥【考点】命题的真假判断与应用不等式的概念与应用不等式的基本性质【解析】此题暂无解析【解答】因为a−b>0，所以−a2>−b2，即a2>b2，故①正确；由a2>b2，不等式两边同时乘a时， a30，则1ab>0，所以a⋅1abaa=1，故④正确；由1a−b−1a=a−a−ba−ba=ba−ba，因为a−b<0,a<0，所以a−ba>0，又因为b<0，所以1a−b−1a<0，即1a−b<1a，故⑤错误；由a|b|=−b，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥．故答案为：①④⑥．三、解答题【答案】（1）因为1+iz=1−3i，∴ z=1−3i1+i=−1−2i可得1+aiz=1+ai−1−2i=2a−1−2+ai因为复数1+aiz为纯虚数，可得2a−1=02+a≠0，解得a=12，即实数a的值为12（2）因为z的共轭复数为z=−1+2i，复数zz+1=−1−12i,|zz+1|=52.【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的模【解析】此题暂无解析【解答】（1）因为1+iz=1−3i，∴ z=1−3i1+i=−1−2i可得1+aiz=1+ai−1−2i=2a−1−2+ai因为复数1+aiz为纯虚数，可得2a−1=02+a≠0，解得a=12，即实数a的值为12（2）因为z的共轭复数为z=−1+2i，复数zz+1=−1−12i,|zz+1|=52.【答案】证明：(1)∵ 6+72−22+52=13+242−13+410=242−240>0∴ 6+7>22+5；(2)假设1+xy<2和1+yx<2都不成立，即1+xy≥2和1+yx≥2同时成立.∵ x，y都是正实数，∴ 1+x≥2y，1+y≥2x，∴ 1+x+1+y≥2x+2y，∴ x+y≤2，这与已知条件x+y>2矛盾，∴ 假设不成立，即1+xy<2和1+yx<2中至少有一个成立.【考点】不等式的证明反证法【解析】假设1+xy≥2且1+yx≥2，根据x，y都是正数可得x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾，故假设不成立．【解答】证明：(1)∵ 6+72−22+52=13+242−13+410=242−240>0∴ 6+7>22+5；(2)假设1+xy<2和1+yx<2都不成立，即1+xy≥2和1+yx≥2同时成立.∵ x，y都是正实数，∴ 1+x≥2y，1+y≥2x，∴ 1+x+1+y≥2x+2y，∴ x+y≤2，这与已知条件x+y>2矛盾，∴ 假设不成立，即1+xy<2和1+yx<2中至少有一个成立.【答案】（1）因为K2=110×100−300260×50×80×30≈7.486>6.635所以有99%的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关．(2)根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人．男生有5人分别记为a，b，c，d，e，女生有3人分别记为A，B，C，从8人中选取2人的情况共有 ab，ac，ad，ae，aA，aB，aC，bc，bd，be，bA，bB，bC，cd，ce，cA，cB，cC，de，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共28种，其中至少有一名女生的结果有aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共18种，所求概率为p=1828=914.【考点】独立性检验列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】（1）因为K2=110×100−300260×50×80×30≈7.486>6.635所以有99%的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关．(2)根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人．男生有5人分别记为a，b，c，d，e，女生有3人分别记为A，B，C，从8人中选取2人的情况共有 ab，ac，ad，ae，aA，aB，aC，bc，bd，be，bA，bB，bC，cd，ce，cA，cB，cC，de，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共28种，其中至少有一名女生的结果有aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共18种，所求概率为p=1828=914.【答案】答案：（1）因为直方图的组距为1，则各组频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为x=1.5×0.1+2.5×0.3+3.5×0.3+4.5×0.15+5.5×0.1+6.5×0.05=3.5万元．因为0.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.3，则中位数在区间3,4内．设中位数为3+x,则0.1+0.3+0.3x=0.5，得x=13≈0.33，所以中位数的估计值为3.33万元．（2）记xi=ii=1,2,3,4,5 ,y1=0.5,y2=0.6,y3=1.0 ,y4=1.4, y5=1.7,由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系．因为x=3,y=1.04,i=1nxiyi=0.5+1.2+3+5.6+8.5=18.8,i=1nxi2=1+4+9+16+25=55,则b=18.8−5×3×1.0455−5×9=0.32, a=1.04−0.32×3=0.08,所以回归直线方程是y=0.32x+0.08当x=6时， y=0.32×6+0.08=2，预计该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆．【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】答案：（1）因为直方图的组距为1，则各组频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为x=1.5×0.1+2.5×0.3+3.5×0.3+4.5×0.15+5.5×0.1+6.5×0.05=3.5万元．因为0.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.3，则中位数在区间3,4内．设中位数为3+x,则0.1+0.3+0.3x=0.5，得x=13≈0.33，所以中位数的估计值为3.33万元．（2）记xi=ii=1,2,3,4,5 ,y1=0.5,y2=0.6,y3=1.0 ,y4=1.4, y5=1.7,由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系．因为x=3,y=1.04,i=1nxiyi=0.5+1.2+3+5.6+8.5=18.8,i=1nxi2=1+4+9+16+25=55,则b=18.8−5×3×1.0455−5×9=0.32, a=1.04−0.32×3=0.08,所以回归直线方程是y=0.32x+0.08当x=6时， y=0.32×6+0.08=2，预计该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆．【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意ca=63，a=3， ∴c=2，∴ b=1，∴ 所求椭圆方程为x23+y2=1．(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)．①当AB⊥x轴时，即斜率不存在时，则方程为x=±32,交椭圆于点(±32，±32)，故|AB|=3，S△AOB=34．②当AB与x轴不垂直时，即直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知|m|1+k2=32，得m2=34(k2+1)．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，∴ x1+x2=−6km3k2+1，x1x2=3(m2−1)3k2+1．∴ |AB|2=(1+k2)(x2−x1)2=(1+k2)[36k2m2(3k2+1)2−12(m2−1)3k2+1]=12(k2+1)(3k2+1−m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k≠0)≤3+122×3+6=4．当且仅当9k2=1k2，即k=±33时等号成立．当k=0时，|AB|=3，综上所述|AB|max=2．∴ 当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=12×|AB|max×32=32.【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意ca=63，a=3， ∴c=2，∴ b=1，∴ 所求椭圆方程为x23+y2=1．(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)．①当AB⊥x轴时，即斜率不存在时，则方程为x=±32,交椭圆于点(±32，±32)，故|AB|=3，S△AOB=34．②当AB与x轴不垂直时，即直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知|m|1+k2=32，得m2=34(k2+1)．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，∴ x1+x2=−6km3k2+1，x1x2=3(m2−1)3k2+1．∴ |AB|2=(1+k2)(x2−x1)2=(1+k2)[36k2m2(3k2+1)2−12(m2−1)3k2+1]=12(k2+1)(3k2+1−m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k≠0)≤3+122×3+6=4．当且仅当9k2=1k2，即k=±33时等号成立．当k=0时，|AB|=3，综上所述|AB|max=2．∴ 当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=12×|AB|max×32=32.【答案】解：(1)直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为3x−y−1=0．曲线C的极坐标方程可化为ρ2=22ρ22sin θ+22cos θ，即ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ，∴ x2+y2=2y+2x，故曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+(y−1)2=2．(2)将直线l的参数方程代入(x−1)2+(y−1)2=2中，得12t−12+32t−22=2，化简，得t2−(1+23)t+3=0．∵ Δ>0，∴ 此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2．由根与系数的关系，得t1+t2=23+1，t1t2=3，故t1，t2同正．由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|+|PB|=t1+t2=t1+t2=23+1．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的参数方程参数方程与普通方程的互化参数的意义一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程中参数的几何意义的应用．【解答】解：(1)直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为3x−y−1=0．曲线C的极坐标方程可化为ρ2=22ρ22sin θ+22cos θ，即ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ，∴ x2+y2=2y+2x，故曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+(y−1)2=2．(2)将直线l的参数方程代入(x−1)2+(y−1)2=2中，得12t−12+32t−22=2，化简，得t2−(1+23)t+3=0．∵ Δ>0，∴ 此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2．由根与系数的关系，得t1+t2=23+1，t1t2=3，故t1，t2同正．由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|+|PB|=t1+t2=t1+t2=23+1．平均气温​∘C22262932患肠道感染类疾病的人数12252756