高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示教案设计

复数的三角表示式

【教学目标】

了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.

【教学重难点】

复数的三角形式.

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？

2．复数的辐角、辐角的主值是什么？

二、基础知识

复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值：

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

■名师点拨

（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．

（2）复数0的辐角是任意的．

（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.

（4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

三、合作探究

1．复数的代数形式与三角形式的互化

角度一  代数形式化为三角形式

【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式：

（1）＋i；

（2）－i.

【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，

所以cos θ＝，即θ＝，

所以＋i＝2.

（2）r＝＝2，cos θ＝，

又因为－i对应的点位于第四象限，

所以θ＝.

所以－i＝2.

【规律方法】

复数的代数形式化三角形式的步骤

（1）先求复数的模．

（2）决定辐角所在的象限．

（3）根据象限求出辐角．

（4）求出复数的三角形式．

[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．   

角度二  三角形式化为代数形式

【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．

（1）4；

（2）(cos 60°＋isin 60°)；

（3）2.

【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.

4＝4cos ＋4isin

＝4×＋4×i

＝2＋2i.

（2）(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.

(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i

＝＋i.

（3）2

＝2

＝2.

所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.

2＝2cos π＋2isin π

＝2×＋2×i

＝1－i.

【规律方法】

复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）.

四、课堂检测

1．复数1－i的辐角的主值是(    )

A．π                 B．π

C．π   D．

解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.

2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．

答案：9

3．arg(－2i)＝________．

答案：π