河南省信阳市罗山县2022届高三上学期第二次调研考试数学（理）试卷（Word版，含答案）

2021—2022学年度高中毕业班第二次调研考试

理科数学试题

时间：120分钟    分值：150分

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）

1. 已知在复平面内对应点的坐标为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，集合，且，则=（    ）

A.  B.  C. 和 D. 和

3. 2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若型火箭的喷流相对速度为，当总质比为500时，型火箭的最大速度约为（，）（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C  D.

7. 定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”.若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（    ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形

C. 直角三角形 D. 答案不确定

9. 若曲线与有一条斜率为2的公切线，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知数列满足，（且），数列的前n项和为Sn，则（    ）

A  B.

C.  D.

11. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知双曲线的左右焦点分别为， ，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C. 2 D.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13. 已知实数，满足，则最小值为_______．

14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________．

15. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则当时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是____________．

16. 已知函数，其中且．给出下列四个结论：

①若，则函数的零点是；

②若函数无最小值，则的取值范围为；

③若，则区间上单调递减，在区间上单调递增；

④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为．

其中，所有正确结论的序号是_____．

三、解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

（一）必考题：共60分

17. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.

（1）求，；

（2）设，求数列的前8项和.

18. 已知函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是以为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式.

19. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，，与交于点.

求：（1）的面积；

（2）的长.

20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过的直线与交于两点.

（1）若，求长度的最小值；

（2）设以为直径的圆交轴于两点，问是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21. 设函数．

（1）若，为函数的两个极值点，且，求实数的值；

（2）设函数在点（为非零常数）处的切线为，若函数图象上的点都不在直线的上方，试求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，伯努利双纽线（如图）的普通方程为，直线的参数方程为（其中，为参数）.

（1）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求和的极坐标方程；

（2）设，是与轴的交点，，是与的交点（四点均不同于），当变化时，求四边形的最大面积.

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数.

（1）解不等式；

（2）若对任意恒成立，证明：.

答案

ADCAC  DDCAA  AC 

13. 【答案】

14. 【答案】

15. 【答案】

16. 【答案】①④

17. 【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，将原式化简得，当时，求得，当时，由和的关系得出，由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，最后根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，；

（2）根据题意，化简得，从而得出，代入计算即可得出结果.

【小问1详解】

解：由原式可得：，

当时，；

当时，，

两式作差可得：，

所以，

又因，则，所以，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，

∴，，

∴，；

【小问2详解】

解：，

即，

所以

，

即数列的前8项和.

18. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出的解析式以及定义域，再根据对数函数的单调性即可求解；

（2）当时，有，当时，，由即可求解.

【小问1详解】

因为，所以

所以，可得.

由得.

因为，所以，解得：.

由可得：，所以的取值范围为

【小问2详解】

当时，有，

当时，，

因此.

19. 【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角形的面积公式，只需求即可解决；（2）中已经知道了，想办法求出的三角函数值即可.

【详解】（1）在中，由余弦定理得，

即，解得或（负值舍去），

，则.

（2）因为，，所以.

在中，由余弦定理得，

即，解得.

由正弦定理得，即，

解得，即，

在中，.

20. 【答案】(1) 2     (2) 存在t＝2，使得．

【解析】

【分析】（1）设，由两点的距离公式，配方，可得所求最小值；

（2）设直线AB的方程为x＝my+t，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，求得圆上任一点Q的轨迹方程，代入x1+x2，x1x2，再令y＝0，由韦达定理，结合向量数量积的坐标表示，可判断是否存在．

【详解】（1）设，由，

可得＝＝，

当y0＝±2时，|AP|取得最小值2；

（2）设直线AB的方程为，，

联立可得，即有，

设以AB为直径的圆上任一点

所以Q的轨迹方程为

所以Q的轨迹方程化为

令y＝0，得

所以上式方程的两根分别为x3，x4，，则

由，可得x3x4＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2．

所以存在t＝2，使得．

21. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分，，对函数求导为根据是函数的两个极值点，得到是方程的两根求解；

（2）先求得切线的方程，令，用导数法由对恒成立求解.

【小问1详解】

解：当时，，

当时，，

综上可得

由是函数的两个极值点，又

所以是方程的两根，

从而，而，

所以.

【小问2详解】

∵又，

∴切线的方程为

即

令

当时，、的关系如下表：

当时，、的关系如下表：

函数的图象恒在直线的下方或直线上，等价于对恒成立.

∴只需和同时成立.

∵，

∴只需.

下面研究函数，

∵，

∴在上单调递增，注意到，

∴当且仅当时，.

∴当且仅当，，

由，解得或.

∴的取值范围是.

22. 【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为且.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）应用公式法求的极坐标方程，利用消参法求直线普通方程，再由公式法求其极坐标方程.

（2）由题设可得，根据与的对称性可知，若在第一象限，联立（1）所得极坐标方程求的范围，由即可求面积最大值.

【小问1详解】

由，

则为，

∴的极坐标方程为，

由题设，应用消参法可知：直线普通方程为，

则的极坐标方程为且.

【小问2详解】

由题设，当时有，即，

又且是过原点的直线，结合伯努利双纽线的对称性知：，的横纵坐标互为相反数，若在第一象限，则在第三象限，

∴，

联立、，有，则且，

又，

∴，

而，

∴，故当时有最大.

23. 【答案】(1) .（2）见解析.

【解析】

【分析】(1)由题意结合函数的解析式零点分段即可确定不等式的解集；

(2)由题意首先求得函数的最小值，然后结合恒成立的条件和均值不等式即可证得题中的结论.

【详解】（1）由，得，

即或或，

解得或或，

即，所以不等式的解集为.

（2）若对任意恒成立，

即对任意恒成立，

当时，；

当时，，

所以的最小值为2，即.

又，

所以，

即（当且仅当时，等号成立）