初二期中复习二次根式、分式、平行四边形无答案学案

这是一份初二期中复习二次根式、分式、平行四边形无答案学案，共18页。
二次根式、分式、平行四边形
一、 知识梳理
二次根式
1、定义：一般地，式子（≥0）叫做二次根式，叫做被开方数。只有当是一个非负数时，才有意义。
2、性质：①双重非负性，，
②
③
注意（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
3、二次根式乘法法则：当≥0，b≥0时，（·）2＝（）2·（）2＝ab，（）2＝ab．
由此可见，·与都是ab的算术平方根．
于是得到：·＝（≥0，b≥0）．
反之，＝·（≥0，b≥0）
变式：（1）当≥0，b＋c≥0时，＝·＝a（b＋c)
（2）当≥0，b＋c≥0时，＝＝·＝a．
4、二次根式除法法则：当a≥0，b＞0时，（）2==，（）2=.
由此可见，与都是的算术平方根.
于是得到：（a≥0，b＞0） 反之，=（a≥0，b＞0）
5、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；ƒ分母中不含根号．
同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
6、化简二次根式再相加减：当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号．例如，当a≥0，b＞0时，
＝＝． ====
注意：二次根式的运算结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式
一般地，化简二次根式就是使二次根式：
（1） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2） 被开方数中不含字母；
（3） 分母中不含有根号.
这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式，再进行合并同类项
课堂训练
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. B. C. D.
2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
3. 如果，则（）
A. B. C. D.
4. 的算术平方根是（）
A.±4 B.4 C.±2 D.2
5. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）

A. 7 B. −7 C. 2a−15 D. 无法确定
7. 在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A,B两点对应的实数分别是和−1，则点C所对应的实数是___________

8. 使代数式有意义的整数x有（   ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
9. 计算:=________;=_________;=__________
10. 与最简二次根式是同类二次根式，则a=_____.
11. 已知a＜b，化简二次根式=_____________
12. 已知x，y为实数，且满足，那么=________
13. 已知：一个正数的两个平方根分别是2a−2和a−4，则这个正数的立方根是___
14. .对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b=，如3※2==，那么8※12=_________
15. 已知m=1+,n=1−,则代数式的值为________
16. 把根号外的因式移到根号内为____________
17. 无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围_________
18. 已知x=2+，y=2−，求代数式的值。
19. 化简












20.问题背景：
在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为，求这个三角形的面积。
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示。这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积。
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上___；
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法。若△ABC三边的长分别为(a>1),请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为(m>0,n>0,且m≠n)，试运用构图法求出这三角形的面积。


















分式
1、 概念：
①定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，式子（B≠0）就叫做分式。
整式和分式统称为有理式。
②有无意义：因为零不能作为除数，所以分数的分母不为零；在分式中，分式中的分母如果是零，则分式没有意义
特别地，当分式的值为0，意味着分子___________分母________________；当分式的值为正时，分式的分子和分母符号_______；当分式的值为负时，分式的分子和分母符号______。
2、 基本性质：①分式的分子与分母；②都乘以（或除以）；③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分式的值不变。运用这一性质主要是解决“最简分式化简”“约分”“通分”的问题。
表示：，，其中A、B、C是整式，B≠0，C0。
3、分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
4、分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式。变形后的分母叫做这几个分式的公分母。
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定——如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
5、 最简分式：一个分式的分子和分母只有公因式1时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
6、同分母的分式加减法法则： 结果化为最简分式。
7、异分母的分式加减：首先 ；然后 结果化为最简分式。
8、分式的乘除
（1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。×=。
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。÷=×＝。
（3）分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。( )n＝
9、分式方程
①定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
②解分式方程的一般步骤
解分式方程的基本思想：去分母，把分式方程转化为整式方程
分式方程 整式方程
（1）去分母：在原方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化成整式方程；
（2）解这个整式方程：得到整式方程的根；
（3）验根：检验整式方程的根是否为原分式方程的根（把整式方程的根代入最简公分母检验，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去）
注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．
（4）写结论：原方程的根为……，或原方程无解
列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
③解分式方程产生增根的原因
在解分式方程时，我们在方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，从而把分式方程变为整式方程，因此原分式方程中分母不能为零的限制被无形取消了，这样就使未知数的取值范围扩大了，就有可能产生增根。所以解分式方程必须验根。
④列分式方程解应用题的一般步骤：
审：分析题意，找出研究对象，建立等量关系；
设：选择恰当的未知数，注意单位；
列：根据等量关系正确列出方程；
解：解分式方程的注意事项；
验：增根、实际相符；
答：答案不写扣分。
课堂训练
1. ，中，分式的个数是_________
2. (1)当_________时，分式的值为零;
(2) 当_________时，分式
(3)当时，分式无意义;当时，分式的值为零，=__________
3.已知，=_________.
4.计算：
5.已知，则=_________=__________
6.关于x的方程的解是正数,则a的取值范围是_________
7.若（b≠0），则=__________
8.已知ab=-1，a+b=2，则=________
9.已知（a≠0，b≠0），则=________
10.若关于x的分式方程有增根，则m=_________
11.若对任意自然数n都成立，则a=________
12.已知关于x的方程的解是正数，则m范围__________
13.若关于x的分式方程无解，则a=_________
14.关于x的方程有增根，则m=___________
15.(1)已知实数满足，求的值


(2) 已知、为实数，且，设，，试比较、 的大小关系.



16.若在关于的恒等式中，为最简分式，且有，，求，.

17.化简：


18.计算




19.已知，当时永远成立，求以、、为三边长的四边形的第四边的取值范围.
20、为了迎接“十⋅一”小长假的购物高峰。某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋。其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格
甲
乙
进价(元/双)
m
m−20
售价(元/双)
240
160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同。
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价−进价)不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50