2022届北京市大兴区大兴区北臧村中学中考四模数学试题含解析

这是一份2022届北京市大兴区大兴区北臧村中学中考四模数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在代数式 中，m的取值范围是，下列计算正确的是，已知，，且，则的值为等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
2．下列计算正确的是()
A．2x2－3x2＝x2 B．x＋x＝x2 C．－(x－1)＝－x＋1 D．3＋x＝3x
3．已知圆心在原点O，半径为5的⊙O，则点P（-3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．不能确定
4．如图，已知函数y=﹣与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1，则不等式ax2+bx+＞0的解集是（　　）

A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0 C．x＜﹣3或x＞0 D．x＞0
5．如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是( )

A． B．
C． D．
6．据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　)
A．5.3×103 B．5.3×104 C．5.3×107 D．5.3×108
7．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（　　）

A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
8．在代数式 中，m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m≠0 C．m≥3 D．m≤3且m≠0
9．下列计算正确的是（　　）
A．x4•x4=x16 B．（a+b）2=a2+b2
C．=±4 D．（a6）2÷（a4）3=1
10．已知，，且，则的值为（ ）
A．2或12 B．2或 C．或12 D．或
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____．
12．已知⊙O的半径为5，由直径AB的端点B作⊙O的切线，从圆周上一点P引该切线的垂线PM，M为垂足，连接PA，设PA=x，则AP+2PM的函数表达式为______，此函数的最大值是____，最小值是______．
13．当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_______．
14．如图，以原点O为圆心的圆交X轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= .
15．定义一种新运算：x*y=，如2*1==3，则（4*2）*（﹣1）=_____．
16．每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽（A）豆沙粽（B）小枣粽（C）蛋黄粽（D）的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为________；若该社区有10000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为________．
17．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：※＝，如3※2＝＝.那么8※4＝ ．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在四边形中，为的中点，于点，，，，求的度数．

19．（5分）先化简，，其中x＝．
20．（8分）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y/cm
0
3.7
______
3.8
3.3
2.5
______
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ与直径AB所夹的锐角为60°时，PM的长度约为______cm．
21．（10分）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．

请你根据上面提供的信息回答下列问题：扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人， 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ．老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．
22．（10分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：甲登山上升的速度是每分钟　 　米，乙在A地时距地面的高度b为　 　米．若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，AB=4cm，动点P从点C出发，在BC边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q也从点C出发，沿C→A→B以每秒4cm的速度匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ，以PQ为直径作⊙O．
（1）当时，求△PCQ的面积；
（2）设⊙O的面积为s，求s与t的函数关系式；
（3）当点Q在AB上运动时，⊙O与Rt△ABC的一边相切，求t的值．

24．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为点E，连接BE，点F为BE上一点，连接AF，∠AFE=∠D．
（1）求证：∠BAF=∠CBE；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=．求证：AF=BF．




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=6×=3，
∴阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3=18-9π．
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
2、C
【解析】
根据合并同类项法则和去括号法则逐一判断即可得．
【详解】
解：A．2x2-3x2=-x2，故此选项错误；
B．x+x=2x，故此选项错误；
C．-（x-1）=-x+1，故此选项正确；
D．3与x不能合并，此选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3、B.
【解析】
试题解析：∵OP=5，
∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上．
故选B．
考点：1.点与圆的位置关系；2.坐标与图形性质．
4、C
【解析】
首先求出P点坐标，进而利用函数图象得出不等式ax2+bx+＞1的解集．
【详解】
∵函数y=﹣与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1，
∴1=﹣，
解得：x=﹣3，
∴P（﹣3，1），
故不等式ax2+bx+＞1的解集是：x＜﹣3或x＞1．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确得出P点坐标．
5、A
【解析】
根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可.
【详解】
A.∵，
∴，，
∴，故A正确；
B. ∵，
∴，故B不正确；
C. ∵，
∴ ，故C不正确；
D. ∵，
∴，故D不正确；
故选A.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
6、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
解：5300万=53000000=.
故选C.
【点睛】
在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
7、C
【解析】
如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，

则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选C．
8、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
由题意可知：
解得：m≤3且m≠0
故选D．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
9、D
【解析】
试题分析：x4x4=x8(同底数幂相乘，底数不变，指数相加） ;（a+b)2=a2+b2+2ab（完全平方公式） ;（表示16的算术平方根取正号）;.(先算幂的乘方，底数不变，指数相乘；再算同底数幂相除，底数不变，指数相减.）.
考点：1、幂的运算；2、完全平方公式；3、算术平方根.
10、D
【解析】
根据=5，=7，得，因为，则，则=5-7=-2或-5-7=-12.
故选D.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、﹣1
【解析】
根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．
【详解】
由题意函数y=1x1+bx的交换函数为y=bx1+1x．
∵y=1x1+bx=，
y=bx1+1x=，
函数y=1x1+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，
∴﹣=﹣且，
解得：b=﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．
12、x2+x+20（0＜x＜10） 不存在．
【解析】
先连接BP，AB是直径，BP⊥BM，所以有，∠BMP=∠APB=90°，又∠PBM=∠BAP，那么有△PMB∽△PAB，于是PM：PB=PB：AB，可求从而有（0＜x＜10），再根据二次函数的性质，可求函数的最大值．
【详解】
如图所示，连接PB，
∵∠PBM=∠BAP，∠BMP=∠APB=90°，
∴△PMB∽△PAB，
∴PM：PB=PB：AB，
∴
∴（0＜x＜10），
∵
∴AP+2PM有最大值，没有最小值，
∴y最大值=
故答案为（0＜x＜10），，不存在．

【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，需要熟练掌握.
13、
【解析】
直线与抛物线有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．
【详解】
解:法一：与抛物线有交点
则有，整理得

解得
，对称轴


法二：由题意可知，
∵抛物线的 顶点为，而
∴抛物线y的取值为
，则直线y与x轴平行，
∴要使直线与抛物线有交点，
∴抛物线y的取值为，即为a的取值范围，
∴
故答案为：
【点睛】
考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算．
14、65°
【解析】
解：由题意分析之，得出弧BD对应的圆周角是∠DAB，
所以，=40°，由此则有：∠OCD=65°
考点：本题考查了圆周角和圆心角的关系
点评：此类试题属于难度一般的试题，考生在解答此类试题时一定要对圆心角、弧、弦等的基本性质要熟练把握
15、-1
【解析】
利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】
解：根据题中的新定义得：原式=*（﹣1）=3*（﹣1）==﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16、120人， 3000人
【解析】
根据B的人数除以占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去A、B、D的人数得到本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数；利用该社区的总人数×爱吃鲜肉粽的人数所占的百分比得出结果．
【详解】
调查的总人数为：60÷10%=600（人），本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为：600﹣180﹣60﹣240=120（人）；
若该社区有10000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为：100003000（人）．
故答案为120人；3000人．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
17、
【解析】
根据新定义的运算法则进行计算即可得.
【详解】
∵※＝，
∴8※4=，
故答案为.

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、
【解析】
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】
连接，
∵为的中点，于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19、
【解析】
根据分式的化简方法先通分再约分，然后带入求值.
【详解】
解：

当时，．
【点睛】
此题重点考查学生对分式的化简的应用，掌握分式的化简方法是解题的关键.
20、（1）4，1；（2）见解析；（3）1.1或3.2
【解析】
（1）当x=2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ=BM=4，当x=4时，点P与B重合，此时BQ=1．
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据直角三角形31度角的性质，求出y=2，观察图象写出对应的x的值即可；
【详解】
（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，
当x＝4时，点P与B重合，此时BQ＝1．
故答案为4，1．
（2）函数图象如图所示：

（3）如图，

在Rt△BQM中，∵∠Q＝91°，∠MBQ＝61°，
∴∠BMQ＝31°，
∴BQ＝BM＝2，
观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.2．
故答案为1.1或3.2．
【点睛】
本题考查圆的综合题，垂径定理，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题.
21、（1）36 ， 40， 1；（2）．
【解析】
（1）先求出跳绳所占比例，再用比例乘以360°即可，用篮球的人数除以所占比例即可；根据加权平均数的概念计算训练后篮球定时定点投篮人均进球数．
（2）画出树状图，根据概率公式求解即可．
【详解】
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为360°×（1-10%-20%-10%-10%）=36度；
该班共有学生（2+1+7+4+1+1）÷10%=40人；
训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是=1，
故答案为：36，40，1．
（2）三名男生分别用A1,A2,A3表示，一名女生用B表示．根据题意，可画树形图如下：

由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件M）
的结果有6种，
∴P（M）==．
22、（1）10,30；（2）y=；（3）登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
【解析】
（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y关于x的函数关系式=50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【详解】
（1）（300﹣100）÷20=10（米/分钟），
b=15÷1×2=30，
故答案为10，30；
（2）当0≤x≤2时，y=15x；
当x≥2时，y=30+10×3（x﹣2）=30x﹣30，
当y=30x﹣30=300时，x=11，
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）=50时，解得：x=4，
当30x﹣30﹣（10x+100）=50时，解得：x=9，
当300﹣（10x+100）=50时，解得：x=15，
答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．
23、（1）；（2）①；②；（3）t的值为或1或．
【解析】
（1）先根据t的值计算CQ和CP的长，由图形可知△PCQ是直角三角形，根据三角形面积公式可得结论；
（2）分两种情况：①当Q在边AC上运动时，②当Q在边AB上运动时；分别根据勾股定理计算PQ2，最后利用圆的面积公式可得S与t的关系式；
（3）分别当⊙O与BC相切时、当⊙O与AB相切时，当⊙O与AC相切时三种情况分类讨论即可确定答案．
【详解】
（1）当t=时，CQ=4t=4×=2，即此时Q与A重合，
CP=t=，
∵∠ACB=90°，
∴S△PCQ=CQ•PC=×2×=；
（2）分两种情况：
①当Q在边AC上运动时，0＜t≤2，如图1，
由题意得：CQ=4t，CP=t，
由勾股定理得：PQ2=CQ2+PC2=（4t）2+（t）2=19t2，
∴S=π=；
②当Q在边AB上运动时，2＜t＜4如图2，
设⊙O与AB的另一个交点为D，连接PD，
∵CP=t，AC+AQ=4t，
∴PB=BC﹣PC=2﹣t，BQ=2+4﹣4t=6﹣4t，
∵PQ为⊙O的直径，
∴∠PDQ=90°，
Rt△ACB中，AC=2cm，AB=4cm，
∴∠B=30°，
Rt△PDB中，PD=PB=，
∴BD=，
∴QD=BQ﹣BD=6﹣4t﹣=3﹣，
∴PQ==，
∴S=π==；
（3）分三种情况：
①当⊙O与AC相切时，如图3，设切点为E，连接OE，过Q作QF⊥AC于F，
∴OE⊥AC，
∵AQ=4t﹣2，
Rt△AFQ中，∠AQF=30°，
∴AF=2t﹣1，
∴FQ=（2t﹣1），
∵FQ∥OE∥PC，OQ=OP，
∴EF=CE，
∴FQ+PC=2OE=PQ，
∴（2t﹣1）+t=，
解得：t=或﹣（舍）；
②当⊙O与BC相切时，如图4，
此时PQ⊥BC，
∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，
∴cos30°=，
∴，
∴t=1；
③当⊙O与BA相切时，如图5，
此时PQ⊥BA，
∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，
∴cos30°=，
∴，
∴t=，
综上所述，t的值为或1或．

【点睛】
本题是圆的综合题，涉及了三角函数、勾股定理、圆的面积、切线的性质等知识，综合性较强，有一定的难度，以点P和Q运动为主线，画出对应的图形是关键，注意数形结合的思想．
24、（1）见解析；（2）2.
【解析】
（1）根据相似三角形的判定，易证△ABF∽△BEC，从而可以证明∠BAF=∠CBE成立；
（2）根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF的长
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，∠AFE=∠D，
∴∠C=∠AFB，
∴△ABF∽△BEC，
∴∠BAF=∠CBE；
（2）∵AE⊥DC，AD=5，AB=8，sin∠D=，
∴AE=4，DE=3
∴EC=5
∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=
∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，
∴ ==
即 ==
解得：AF=BF=2
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答